Номер 37.2, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.2, страница 141.

37.2 а) $0.2^{0.5}$;

б) $t^{0.8}$;

в) $b^{1.5}$;

г) $8.5^{0.6}$.

Для решения данной задачи необходимо представить степень с десятичным показателем в виде корня. Общее правило преобразования: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a \ge 0$. Для этого сначала преобразуем десятичную дробь в показателе степени в обыкновенную.

а) $0,2^{0,5}$

1. Преобразуем десятичный показатель $0,5$ в обыкновенную дробь:

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

2. Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$0,2^{0,5} = 0,2^{\frac{1}{2}}$

3. Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:

$0,2^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{0,2^1} = \sqrt{0,2}$

Ответ: $\sqrt{0,2}$.

б) $t^{0,8}$

1. Преобразуем десятичный показатель $0,8$ в обыкновенную дробь:

$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

2. Подставим полученную дробь в исходное выражение (при условии $t \ge 0$):

$t^{0,8} = t^{\frac{4}{5}}$

3. Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:

$t^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{t^4}$

Ответ: $\sqrt[5]{t^4}$.

в) $b^{1,5}$

1. Преобразуем десятичный показатель $1,5$ в обыкновенную дробь:

$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

2. Подставим полученную дробь в исходное выражение (при условии $b \ge 0$):

$b^{1,5} = b^{\frac{3}{2}}$

3. Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:

$b^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{b^3} = \sqrt{b^3}$

Ответ: $\sqrt{b^3}$.

г) $8,5^{0,6}$

1. Преобразуем десятичный показатель $0,6$ в обыкновенную дробь:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

2. Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$8,5^{0,6} = 8,5^{\frac{3}{5}}$

3. Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:

$8,5^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{8,5^3}$

Ответ: $\sqrt[5]{8,5^3}$.