Номер 36.28, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.28, страница 141.

36.28 а) $ \sqrt[4]{m} - \sqrt[8]{m} - 6; $

б) $ \sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6; $

В) $ \sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12; $

Г) $ 2\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 1. $

а) Данное выражение $\sqrt[4]{m} - \sqrt[8]{m} - 6$ можно представить в виде квадратного трехчлена, если сделать замену переменной. Заметим, что $\sqrt[4]{m} = (\sqrt[8]{m})^2$.

Пусть $y = \sqrt[8]{m}$. Тогда исходное выражение примет вид:

$y^2 - y - 6$

Чтобы разложить этот квадратный трехчлен на множители, найдем его корни, решив уравнение $y^2 - y - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -6$.

Подбором находим корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Разложение на множители имеет вид $a(y - y_1)(y - y_2)$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$y^2 - y - 6 = (y - 3)(y - (-2)) = (y - 3)(y + 2)$

Теперь выполним обратную замену, подставив $y = \sqrt[8]{m}$:

$(\sqrt[8]{m} - 3)(\sqrt[8]{m} + 2)$

Ответ: $(\sqrt[8]{m} - 3)(\sqrt[8]{m} + 2)$

б) В выражении $\sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6$ заметим, что $\sqrt{m} = (\sqrt[4]{m})^2$. Сделаем замену переменной.

Пусть $y = \sqrt[4]{m}$. Тогда исходное выражение примет вид:

$y^2 + 5y + 6$

Найдем корни квадратного уравнения $y^2 + 5y + 6 = 0$, чтобы разложить трехчлен на множители.

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = -5$ и $y_1 \cdot y_2 = 6$.

Корнями являются $y_1 = -2$ и $y_2 = -3$.

Разложим трехчлен на множители:

$y^2 + 5y + 6 = (y - (-2))(y - (-3)) = (y + 2)(y + 3)$

Выполним обратную замену $y = \sqrt[4]{m}$:

$(\sqrt[4]{m} + 2)(\sqrt[4]{m} + 3)$

Ответ: $(\sqrt[4]{m} + 2)(\sqrt[4]{m} + 3)$

в) В выражении $\sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12$ заметим, что $\sqrt[5]{a} = (\sqrt[10]{a})^2$. Сделаем замену переменной.

Пусть $y = \sqrt[10]{a}$. Тогда исходное выражение можно записать как:

$y^2 + 7y + 12$

Найдем корни квадратного уравнения $y^2 + 7y + 12 = 0$.

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = -7$ и $y_1 \cdot y_2 = 12$.

Корнями являются $y_1 = -3$ и $y_2 = -4$.

Разложим трехчлен на множители:

$y^2 + 7y + 12 = (y - (-3))(y - (-4)) = (y + 3)(y + 4)$

Выполним обратную замену $y = \sqrt[10]{a}$:

$(\sqrt[10]{a} + 3)(\sqrt[10]{a} + 4)$

Ответ: $(\sqrt[10]{a} + 3)(\sqrt[10]{a} + 4)$

г) В выражении $2\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 1$ заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной.

Пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда исходное выражение примет вид:

$2y^2 - y - 1$

Чтобы разложить этот трехчлен на множители, решим квадратное уравнение $2y^2 - y - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Разложение на множители имеет вид $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$2(y - 1)(y - (-\frac{1}{2})) = 2(y - 1)(y + \frac{1}{2}) = (y - 1)(2y + 1)$

Выполним обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$:

$(\sqrt[6]{x} - 1)(2\sqrt[6]{x} + 1)$

Ответ: $(\sqrt[6]{x} - 1)(2\sqrt[6]{x} + 1)$