Номер 36.23, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.23, страница 140.

36.23 Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$, $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$;

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[10]{25}$;

в) $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{4}}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}$;

г) $\sqrt[16]{64}$, $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$.

а) Для того чтобы сравнить числа $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$, $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$, приведем их к одному показателю корня. Для этого преобразуем каждое число, внося множители под корень и используя свойство вложенных корней: $\sqrt{3\sqrt[3]{4}} = \sqrt{\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}} = \sqrt{\sqrt[3]{27 \cdot 4}} = \sqrt[6]{108}$; $\sqrt[3]{5\sqrt{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{5^2 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 3}} = \sqrt[6]{75}$. Третье число $\sqrt[6]{100}$ уже имеет нужный показатель 6.

Сравниваем подкоренные выражения: $75 < 100 < 108$. Так как функция корня является возрастающей, то и сами корни будут располагаться в том же порядке: $\sqrt[6]{75} < \sqrt[6]{100} < \sqrt[6]{108}$. Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются следующим образом.

Ответ: $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$, $\sqrt[6]{100}$, $\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[10]{25}$, приведем их к общему показателю корня. Сначала упростим второе число: $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{3^5 \cdot 3}} = \sqrt[30]{3^6} = \sqrt[30]{729}$. Наименьший общий показатель для корней с показателями 5, 30 и 10 равен 30. Приведем остальные числа к этому показателю: $\sqrt[5]{4} = \sqrt[5 \cdot 6]{4^6} = \sqrt[30]{4096}$; $\sqrt[10]{25} = \sqrt[10 \cdot 3]{25^3} = \sqrt[30]{(5^2)^3} = \sqrt[30]{5^6} = \sqrt[30]{15625}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $729 < 4096 < 15625$. Это означает, что $\sqrt[30]{729} < \sqrt[30]{4096} < \sqrt[30]{15625}$. Записав исходные числа в этом порядке, получаем итоговый результат.

Ответ: $\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$, $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[10]{25}$.

в) Для сравнения чисел $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{4}}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}$ приведем их к корням с одинаковым показателем. Упростим сложные корни: $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{4}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}} = \sqrt[15]{108}$; $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{2^5 \cdot 2}} = \sqrt[15]{2^6} = \sqrt[15]{64}$. Общий показатель корней равен 15. Приведем число $\sqrt[3]{2}$ к этому показателю: $\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$.

Теперь у нас есть числа $\sqrt[15]{108}$, $\sqrt[15]{32}$ и $\sqrt[15]{64}$. Сравнивая подкоренные выражения, получаем $32 < 64 < 108$. Следовательно, $\sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{64} < \sqrt[15]{108}$. Расположим исходные числа в соответствующем порядке.

Ответ: $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}$, $\sqrt[5]{3\sqrt[3]{4}}$.

г) Для сравнения чисел $\sqrt[16]{64}$, $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$ упростим каждое из них и приведем к общему показателю корня.
$\sqrt[16]{64} = \sqrt[16]{2^6} = 2^{6/16} = 2^{3/8} = \sqrt[8]{8}$;
$\sqrt[48]{7\sqrt{7}} = \sqrt[48]{7 \cdot 7^{1/2}} = \sqrt[48]{7^{3/2}} = 7^{\frac{3}{2 \cdot 48}} = 7^{1/32} = \sqrt[32]{7}$;
$\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} = \sqrt[4]{2\sqrt{\frac{5}{4}}} = \sqrt[4]{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \sqrt[4]{\sqrt{5}} = \sqrt[8]{5}$.
Общий показатель для корней $\sqrt[8]{8}$, $\sqrt[32]{7}$ и $\sqrt[8]{5}$ равен 32. Приведем корни к этому показателю: $\sqrt[8]{8} = \sqrt[8 \cdot 4]{8^4} = \sqrt[32]{(2^3)^4} = \sqrt[32]{2^{12}} = \sqrt[32]{4096}$; $\sqrt[8]{5} = \sqrt[8 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[32]{625}$.

Теперь сравним числа $\sqrt[32]{4096}$, $\sqrt[32]{7}$ и $\sqrt[32]{625}$. Сравнивая подкоренные выражения, имеем $7 < 625 < 4096$. Таким образом, $\sqrt[32]{7} < \sqrt[32]{625} < \sqrt[32]{4096}$.

Ответ: $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$, $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$, $\sqrt[16]{64}$.