Номер 36.20, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.20, страница 139.

Преобразуйте заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

36.20 a) $\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2m^4n^8}}$;

б) $\sqrt{y^5\sqrt{9x^4y^2}}$;

в) $\sqrt[5]{4\sqrt[3]{k^2l^5}}$;

г) $\sqrt[7]{q^5\sqrt{2p^3q}}$.

а) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2m^4n^8}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала внесем множитель $2$, стоящий перед внутренним корнем, под знак этого корня. Для этого возведем $2$ в степень, равную показателю корня, то есть в куб: $2 \sqrt[3]{2m^4n^8} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[3]{8 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[3]{16m^4n^8}$. Теперь исходное выражение принимает вид $\sqrt[4]{\sqrt[3]{16m^4n^8}}$. Далее используем свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$. В нашем случае показатели корней равны 4 и 3, поэтому получаем: $\sqrt[4 \cdot 3]{16m^4n^8} = \sqrt[12]{16m^4n^8}$. Это выражение можно упростить. Представим $16$ как $2^4$. Тогда подкоренное выражение будет $2^4m^4n^8 = (2mn^2)^4$. Получаем $\sqrt[12]{(2mn^2)^4}$. Сократим показатель корня (12) и показатель степени подкоренного выражения (4) на их общий делитель 4: $\sqrt[12/4]{(2mn^2)^{4/4}} = \sqrt[3]{2mn^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2mn^2}$

б) Преобразуем выражение $\sqrt{y^5 \sqrt[5]{9x^4y^2}}$. Внешний корень является квадратным, то есть его показатель равен 2. Внесем множитель $y^5$ под знак внутреннего корня 5-й степени, возведя его для этого в 5-ю степень: $y^5 \sqrt[5]{9x^4y^2} = \sqrt[5]{(y^5)^5 \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[5]{y^{25} \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[5]{9x^4y^{27}}$. Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt{\sqrt[5]{9x^4y^{27}}}$. Применим свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$: $\sqrt[2 \cdot 5]{9x^4y^{27}} = \sqrt[10]{9x^4y^{27}}$. Показатели степеней подкоренного выражения ($9=3^2, x^4, y^{27}$) и показатель корня 10 не имеют общих делителей, отличных от 1, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\sqrt[10]{9x^4y^{27}}$

в) Преобразуем выражение $\sqrt[5]{4 \sqrt[3]{k^2l^5}}$. Сначала внесем множитель $4$ под знак внутреннего кубического корня. Для этого возведем $4$ в степень 3: $4 \sqrt[3]{k^2l^5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot k^2l^5} = \sqrt[3]{64k^2l^5}$. Исходное выражение примет вид $\sqrt[5]{\sqrt[3]{64k^2l^5}}$. Используя свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$, перемножим показатели корней 5 и 3: $\sqrt[5 \cdot 3]{64k^2l^5} = \sqrt[15]{64k^2l^5}$. Представим $64$ как $2^6$. Показатели степеней подкоренного выражения ($2^6, k^2, l^5$) и показатель корня 15 не имеют общих делителей, поэтому выражение дальше не упрощается.
Ответ: $\sqrt[15]{64k^2l^5}$

г) Преобразуем выражение $\sqrt[7]{q \sqrt[5]{2p^3q}}$. Внесем множитель $q$ под знак внутреннего корня 5-й степени, возведя его в 5-ю степень: $q \sqrt[5]{2p^3q} = \sqrt[5]{q^5 \cdot 2p^3q} = \sqrt[5]{2p^3q^{5+1}} = \sqrt[5]{2p^3q^6}$. Подставим полученное выражение в исходное: $\sqrt[7]{\sqrt[5]{2p^3q^6}}$. Применим свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$: $\sqrt[7 \cdot 5]{2p^3q^6} = \sqrt[35]{2p^3q^6}$. Показатели степеней подкоренного выражения (1 у множителя 2, 3 у $p$, 6 у $q$) и показатель корня 35 не имеют общих делителей, отличных от 1. Следовательно, выражение не упрощается.
Ответ: $\sqrt[35]{2p^3q^6}$