Номер 36.26, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.26, страница 140.

36.26 a) $(\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}) : (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b});

б) $(\sqrt[3]{16x^2} - \sqrt[3]{25y^2}) : (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y}).

a)

Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}) : (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$.

Сначала преобразуем делимое. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{x}$ за скобки:

$\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x} = \sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{9a^2} - 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2})$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $\sqrt[3]{9a^2} - 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2}$.

Заметим, что $\sqrt[3]{9a^2} = \sqrt[3]{(3a)^2} = (\sqrt[3]{3a})^2$ и $\sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{b})^2$.

Также, $2\sqrt[3]{3ab} = 2\sqrt[3]{3a}\sqrt[3]{b}$.

Таким образом, выражение в скобках представляет собой квадрат разности. Пусть $u = \sqrt[3]{3a}$ и $v = \sqrt[3]{b}$. Тогда выражение принимает вид $u^2 - 2uv + v^2 = (u-v)^2$.

Подставляя обратно, получаем:

$\sqrt[3]{9a^2} - 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2$

Следовательно, все делимое равно:

$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2$

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b}}$

Сокращая на общий множитель $(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$, при условии, что он не равен нулю (т.е. $3a \neq b$), получаем:

$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$

Ответ: $\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$.

б)

Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{16x^2} - \sqrt[3]{25y^2}) : (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})$.

Преобразуем делимое, используя свойства корней:

$\sqrt[3]{16x^2} = \sqrt[3]{(4x)^2} = (\sqrt[3]{4x})^2$

$\sqrt[3]{25y^2} = \sqrt[3]{(5y)^2} = (\sqrt[3]{5y})^2$

Таким образом, делимое можно представить в виде разности квадратов:

$(\sqrt[3]{4x})^2 - (\sqrt[3]{5y})^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt[3]{4x}$ и $b = \sqrt[3]{5y}$:

$(\sqrt[3]{4x})^2 - (\sqrt[3]{5y})^2 = (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})(\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y})$

Теперь выполним деление всего выражения:

$\frac{(\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})(\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y})}{\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y}}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})$, при условии, что он не равен нулю (т.е. $4x \neq 5y$):

$\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$

Ответ: $\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$.