Номер 36.31, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.31, страница 141.

36.31 Решите уравнение:

а) $ \frac{x\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4; $

б) $ \frac{x + 8}{\sqrt[3]{x} + 2} + \frac{\sqrt[3]{x^2} - 25}{\sqrt[3]{x} + 5} = 5. $

а) $\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1} - \frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1} = 4$

Введем замену: пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $x = t^3$, $\sqrt[3]{x^2} = t^2$ и $x\sqrt[3]{x} = t^3 \cdot t = t^4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$\sqrt[3]{x^2}-1 \neq 0 \implies t^2-1 \neq 0 \implies (t-1)(t+1) \neq 0 \implies t \neq 1$ и $t \neq -1$.
$\sqrt[3]{x}+1 \neq 0 \implies t+1 \neq 0 \implies t \neq -1$.
Следовательно, ОДЗ: $t \neq 1$ и $t \neq -1$, что соответствует $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Подставим замену в уравнение:

$\frac{t^4-1}{t^2-1} - \frac{t^2-1}{t+1} = 4$

Упростим дроби, используя формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\frac{(t^2-1)(t^2+1)}{t^2-1} - \frac{(t-1)(t+1)}{t+1} = 4$

Сократим дроби с учетом ОДЗ:

$(t^2+1) - (t-1) = 4$

$t^2+1 - t + 1 = 4$

$t^2 - t + 2 - 4 = 0$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($t \neq 1$ и $t \neq -1$). Корень $t_2 = -1$ является посторонним. Единственный подходящий корень $t = 2$.

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[3]{x} = 2$

$x = 2^3 = 8$

Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: 8.

б) $\frac{x+8}{\sqrt[3]{x}+2} + \frac{\sqrt[3]{x^2}-25}{\sqrt[3]{x}+5} = 5$

Введем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Тогда $x = y^3$ и $\sqrt[3]{x^2} = y^2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$\sqrt[3]{x}+2 \neq 0 \implies y+2 \neq 0 \implies y \neq -2$.
$\sqrt[3]{x}+5 \neq 0 \implies y+5 \neq 0 \implies y \neq -5$.
Следовательно, ОДЗ: $y \neq -2$ и $y \neq -5$, что соответствует $x \neq -8$ и $x \neq -125$.

Подставим замену в уравнение:

$\frac{y^3+8}{y+2} + \frac{y^2-25}{y+5} = 5$

Упростим дроби, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\frac{(y+2)(y^2-2y+4)}{y+2} + \frac{(y-5)(y+5)}{y+5} = 5$

Сократим дроби с учетом ОДЗ:

$(y^2-2y+4) + (y-5) = 5$

$y^2 - y - 1 = 5$

$y^2 - y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y \neq -2$ и $y \neq -5$). Корень $y_2 = -2$ является посторонним. Единственный подходящий корень $y = 3$.

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[3]{x} = 3$

$x = 3^3 = 27$

Корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -8$ и $x \neq -125$).

Ответ: 27.