Номер 37.6, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.6, страница 142.

37.6 a) $9^{2\frac{1}{2}}$;

б) $0,16^{1\frac{1}{2}}$;

в) $\left(3\frac{3}{8}\right)^{\frac{4}{3}}$;

г) $0,001^{\frac{2}{3}}$.

а)

Для вычисления $9^{2\frac{1}{2}}$ представим смешанную степень $2\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.

Тогда выражение примет вид $9^{\frac{5}{2}}$. Представим основание 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $9^{\frac{5}{2}} = (3^2)^{\frac{5}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 3^5$.

Вычисляем $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Ответ: 243

б)

Для вычисления $0,16^{1\frac{1}{2}}$ сначала преобразуем смешанную степень $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Выражение станет $0,16^{\frac{3}{2}}$. Заметим, что десятичную дробь 0,16 можно представить как квадрат другой дроби: $0,16 = 0,4^2$.

Подставим это в наше выражение и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(0,4^2)^{\frac{3}{2}} = 0,4^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 0,4^3$.

Осталось вычислить $0,4^3$: $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.

Ответ: 0,064

в)

Рассмотрим выражение $(3\frac{3}{8})^{\frac{4}{3}}$. Первым шагом переведем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

Теперь выражение выглядит так: $(\frac{27}{8})^{\frac{4}{3}}$. Представим числитель и знаменатель дроби в виде степеней: $27 = 3^3$ и $8 = 2^3$. Таким образом, $\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$.

Применяя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $((\frac{3}{2})^3)^{\frac{4}{3}} = (\frac{3}{2})^{3 \cdot \frac{4}{3}} = (\frac{3}{2})^4$.

Вычисляем результат: $(\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.

Ответ: $\frac{81}{16}$

г)

Для вычисления $0,001^{\frac{2}{3}}$ представим десятичную дробь 0,001 в виде степени: $0,001 = 0,1^3$.

Подставим это в исходное выражение: $(0,1^3)^{\frac{2}{3}}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(0,1^3)^{\frac{2}{3}} = 0,1^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 0,1^2$.

Вычисляем $0,1^2$: $0,1^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.

Ответ: 0,01