Номер 37.10, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.10, страница 142.

37.10 a) $\frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3}$;

б) $\frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3} $, представим числа $49$ и $25$ в виде степеней простых чисел: $49 = 7^2$ и $25 = 5^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$ \frac{5^4 \cdot (7^2)^{-3}}{7^{-7} \cdot (5^2)^3} $
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$ \frac{5^4 \cdot 7^{2 \cdot (-3)}}{7^{-7} \cdot 5^{2 \cdot 3}} = \frac{5^4 \cdot 7^{-6}}{7^{-7} \cdot 5^6} $
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{5^4}{5^6} \cdot \frac{7^{-6}}{7^{-7}} = 5^{4-6} \cdot 7^{-6 - (-7)} = 5^{-2} \cdot 7^{-6+7} = 5^{-2} \cdot 7^1 $
Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, найдем окончательный результат:
$ 5^{-2} \cdot 7 = \frac{1}{5^2} \cdot 7 = \frac{1}{25} \cdot 7 = \frac{7}{25} $
Ответ: $ \frac{7}{25} $

б) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}} $, представим числа $81$ и $27$ как степени числа $3$: $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в выражение:
$ \frac{(3^4)^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot (3^3)^{17}} $
Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$ \frac{3^{4 \cdot 12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 3^{3 \cdot 17}} = \frac{3^{48} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 3^{51}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{3^{48}}{3^{51}} \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-5}} = 3^{48-51} \cdot 10^{-7 - (-5)} = 3^{-3} \cdot 10^{-7+5} = 3^{-3} \cdot 10^{-2} $
Применив свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получим:
$ 3^{-3} \cdot 10^{-2} = \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{10^2} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{2700} $
Ответ: $ \frac{1}{2700} $