Номер 37.14, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.14, страница 142.

37.14 Сравните:

а) $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$;

б) $0,3^{\frac{1}{2}}$ и $0,5^{\frac{1}{2}}$;

в) $5^{\frac{1}{2}}$ и $5^{\frac{1}{3}}$;

г) $7^{\frac{1}{3}}$ и $7^{\frac{2}{6}}$.

а) Для сравнения чисел $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством степенной функции $y=x^a$. При $a>0$ функция является возрастающей. В данном случае показатель степени $a = \frac{1}{2} > 0$. Основания степеней равны $2$ и $3$. Поскольку $2 < 3$, и функция $y = x^{\frac{1}{2}}$ (или $y=\sqrt{x}$) является возрастающей, то для оснований выполняется неравенство $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$.

б) Для сравнения чисел $0,3^{\frac{1}{2}}$ и $0,5^{\frac{1}{2}}$ используем тот же подход, что и в пункте а). Показатель степени $\frac{1}{2}$ положителен, значит, функция $y = x^{\frac{1}{2}}$ возрастающая. Сравним основания: $0,3 < 0,5$. Следовательно, из-за возрастания функции, $0,3^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $0,3^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{2}}$.

в) Для сравнения чисел $5^{\frac{1}{2}}$ и $5^{\frac{1}{3}}$ рассмотрим показательную функцию $y=a^x$. Поскольку основание $a = 5 > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что большему показателю степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, то и $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. В силу возрастания функции $y=5^x$ получаем, что $5^{\frac{1}{2}} > 5^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $5^{\frac{1}{2}} > 5^{\frac{1}{3}}$.

г) Сравним числа $7^{\frac{1}{3}}$ и $7^{\frac{2}{6}}$. Основания степеней одинаковы и равны 7. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$. Упростим второй показатель, сократив дробь на 2: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Так как показатели степеней равны, то и сами числа равны.
Ответ: $7^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{6}}$.