Номер 37.19, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.19, страница 143.

37.19 a) $ (a^{0.4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0.8} $;

Б) $ \sqrt[10]{c} \cdot (c^{-1.2})^{\frac{3}{4}} $;

В) $ (x^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{4}} \cdot (\sqrt[4]{x})^{\frac{17}{4}} $;

Г) $ (b^{0.8})^{-\frac{3}{4}} \cdot (b^{-\frac{2}{5}})^{-1.5} $.

а)

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1. Сначала упростим первый множитель $(a^{0,4})^{\frac{1}{2}}$:

$(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} = a^{0,4 \cdot \frac{1}{2}} = a^{0,4 \cdot 0,5} = a^{0,2}$

2. Теперь умножим полученный результат на второй множитель $a^{0,8}$:

$a^{0,2} \cdot a^{0,8} = a^{0,2 + 0,8} = a^1 = a$

Ответ: $a$

б)

Для решения этого примера представим корень в виде степени с дробным показателем $\sqrt[n]{c} = c^{\frac{1}{n}}$ и воспользуемся свойствами степеней: $(c^m)^n = c^{m \cdot n}$ и $c^m \cdot c^n = c^{m+n}$.

1. Представим корень $\sqrt[10]{c}$ в виде степени:

$\sqrt[10]{c} = c^{\frac{1}{10}} = c^{0,1}$

2. Упростим второй множитель $(c^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$. Для этого перемножим показатели:

$-1,2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{12}{10} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{18}{20} = -\frac{9}{10} = -0,9$

Таким образом, $(c^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = c^{-0,9}$.

3. Теперь перемножим полученные выражения:

$c^{0,1} \cdot c^{-0,9} = c^{0,1 + (-0,9)} = c^{0,1 - 0,9} = c^{-0,8}$

Ответ: $c^{-0,8}$

в)

Используем те же свойства степеней, что и в предыдущих примерах.

1. Упростим первый множитель $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{4}}$:

$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{4}} = x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}} = x^{\frac{15}{16}}$

2. Упростим второй множитель $(\sqrt[4]{x})^{\frac{17}{4}}$. Сначала представим корень в виде степени:

$\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$

Теперь возведем в степень:

$(x^{\frac{1}{4}})^{\frac{17}{4}} = x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{17}{4}} = x^{\frac{17}{16}}$

3. Перемножим результаты:

$x^{\frac{15}{16}} \cdot x^{\frac{17}{16}} = x^{\frac{15}{16} + \frac{17}{16}} = x^{\frac{15+17}{16}} = x^{\frac{32}{16}} = x^2$

Ответ: $x^2$

г)

Для решения представим десятичные дроби в виде обыкновенных и применим свойства степеней.

1. Упростим первый множитель $(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}}$. Представим $0,8$ как $\frac{4}{5}$:

$(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}} = (b^{\frac{4}{5}})^{-\frac{3}{4}} = b^{\frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{4})} = b^{-\frac{3}{5}}$

2. Упростим второй множитель $(b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5}$. Представим $-1,5$ как $-\frac{3}{2}$:

$(b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5} = (b^{-\frac{2}{5}})^{-\frac{3}{2}} = b^{(-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{3}{2})} = b^{\frac{6}{10}} = b^{\frac{3}{5}}$

3. Перемножим полученные выражения:

$b^{-\frac{3}{5}} \cdot b^{\frac{3}{5}} = b^{-\frac{3}{5} + \frac{3}{5}} = b^0 = 1$ (при условии, что $b \neq 0$)

Ответ: $1$