Номер 37.22, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.22, страница 143.

37.22 a) $ (27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}} $;

б) $ \left(\frac{1}{16} \cdot 81^{-1}\right)^{-\frac{1}{4}} $;

в) $ \left(\frac{1}{36} \cdot 0,04\right)^{-\frac{1}{2}} $;

г) $ \left(5^{-3} \cdot \frac{1}{64}\right)^{-\frac{1}{3}} $.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся свойством степени произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

$(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{1}{3}}$

Степень с показателем $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню. Нам нужно найти кубический корень из 27 и 64.

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.

$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$3 \cdot 4 = 12$.

Другой способ решения — представить числа 27 и 64 в виде степеней:

$27 = 3^3$

$64 = 4^3$

Тогда выражение примет вид:

$(3^3 \cdot 4^3)^{\frac{1}{3}} = ((3 \cdot 4)^3)^{\frac{1}{3}} = (12^3)^{\frac{1}{3}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$12^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 12^1 = 12$.

Ответ: 12

б)

Рассмотрим выражение $(\frac{1}{16} \cdot 81^{-1})^{-\frac{1}{4}}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$81^{-1} = \frac{1}{81}$

Тогда выражение в скобках становится:

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{16 \cdot 81}$

Теперь исходное выражение выглядит так: $(\frac{1}{16 \cdot 81})^{-\frac{1}{4}}$.

Воспользуемся свойством отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{16 \cdot 81})^{-\frac{1}{4}} = (16 \cdot 81)^{\frac{1}{4}}$

Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(16 \cdot 81)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot 81^{\frac{1}{4}}$

Вычислим значения:

$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.

$81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

Перемножим результаты:

$2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

в)

Для решения $(\frac{1}{36} \cdot 0,04)^{-\frac{1}{2}}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$(\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{36 \cdot 25})^{-\frac{1}{2}}$

Используем свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{900})^{-\frac{1}{2}} = 900^{\frac{1}{2}}$

Степень с показателем $\frac{1}{2}$ — это квадратный корень:

$900^{\frac{1}{2}} = \sqrt{900} = 30$.

Альтернативный путь после применения свойства отрицательной степени:

$(36 \cdot 25)^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{25} = 6 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30

г)

Рассмотрим выражение $(5^{-3} \cdot \frac{1}{64})^{-\frac{1}{3}}$.

Упростим выражение в скобках, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

Подставим в исходное выражение:

$(\frac{1}{125} \cdot \frac{1}{64})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{125 \cdot 64})^{-\frac{1}{3}}$

Теперь применим свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(125 \cdot 64)^{\frac{1}{3}}$

Далее используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$125^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{1}{3}}$

Вычислим кубические корни:

$125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.

Перемножим полученные значения:

$5 \cdot 4 = 20$.

Ответ: 20