Номер 37.28, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.28, страница 144.

Сократите дробь:

37.28 a) $ \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3} $;

б) $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a - b} $;

В) $ \frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x} $;

Г) $ \frac{p^2 - 5}{p - 25} $.

а) Исходная дробь: $\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3}$.

Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $3^{\frac{1}{2}} + 3$.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3} = \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot (3^{\frac{1}{2}} + 3)}{(3^{\frac{1}{2}} - 3) \cdot (3^{\frac{1}{2}} + 3)}$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(3^{\frac{1}{2}} - 3)(3^{\frac{1}{2}} + 3) = (3^{\frac{1}{2}})^2 - 3^2 = 3 - 9 = -6$.

В числителе раскроем скобки:

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot (3^{\frac{1}{2}} + 3) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 = 4 \cdot 3 + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 12 + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{12 + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{-6}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{12}{-6} + \frac{12 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{-6} = -2 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = -2(1 + 3^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $-2(1 + 3^{\frac{1}{2}})$

б) Исходная дробь: $\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a - b}$.

Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Представим $a$ и $b$ как квадраты их корней: $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Тогда знаменатель $a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b$):

$\frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$

в) Исходная дробь: $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x}$.

Для сокращения дроби вынесем общий множитель в числителе. Заметим, что $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$.

Числитель можно преобразовать: $x + x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)$.

Подставим преобразованный числитель в дробь. Также представим $x$ в знаменателе как $(x^{\frac{1}{2}})^2$:

$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2(x^{\frac{1}{2}})^2}$

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$

г) Исходная дробь: $\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{p - 25}$.

Для сокращения этой дроби разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов.

Представим знаменатель в виде $p - 25 = (p^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2$.

Применив формулу, получаем: $(p^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2 = (p^{\frac{1}{2}} - 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)$.

Подставим разложение в исходную дробь:

$\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{(p^{\frac{1}{2}} - 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)}$

Сократим общий множитель $(p^{\frac{1}{2}} - 5)$ (при условии, что $p \neq 25$):

$\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}$

Ответ: $\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}$