Номер 37.31, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.31, страница 145.

37.31 a) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2;$

б) $(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2.$

а)

Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2$ можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формулы разности квадратов.

Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$ и $y = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

Подставим эти значения в формулу:

$((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})) \cdot ((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) + (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = 2b^{\frac{1}{3}}$

Вторая скобка: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}}$

Перемножим полученные результаты:

$2b^{\frac{1}{3}} \cdot 2a^{\frac{1}{3}} = 4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Способ 2: Раскрытие скобок.

Используем формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) - (a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

Приводим подобные слагаемые: $(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}}) + (b^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}) + (2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}) = 4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

б)

Упростим выражение $(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a^{\frac{3}{2}}$ и $y = 5a^{\frac{1}{2}}$.

$(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{3}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot 5a^{\frac{1}{2}} + (5a^{\frac{1}{2}})^2$

Упростим каждый член выражения, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(a^{\frac{3}{2}})^2 = a^{\frac{3}{2} \cdot 2} = a^3$

$2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot 5a^{\frac{1}{2}} = 10 \cdot a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 10a^{\frac{4}{2}} = 10a^2$

$(5a^{\frac{1}{2}})^2 = 5^2 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^2 = 25 \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25a$

Таким образом, выражение в скобках равно $a^3 + 10a^2 + 25a$.

Теперь подставим это в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 + 10a^2 + 25a) - 10a^2 = a^3 + (10a^2 - 10a^2) + 25a = a^3 + 25a$

Ответ: $a^3 + 25a$