Номер 37.30, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.30, страница 145.

Упростите выражение:

37.30 a) $(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}};$

б) $(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}};$

в) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}};$

г) $\sqrt{b} + \sqrt{c} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2.$

а) $(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}}$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}} = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{2}} + (c^{\frac{1}{2}})^2) - 2c^{\frac{1}{2}} = (1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c) - 2c^{\frac{1}{2}}$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c - 2c^{\frac{1}{2}} = 1 + c$

Ответ: $1 + c$

б) $(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}}$

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Также используем свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.

$(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}} = ((m^{\frac{1}{4}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{3}} + (m^{\frac{1}{3}})^2) + 2m^{\frac{7}{12}}$

Упростим степени:

$m^{\frac{2}{4}} - 2m^{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}} = m^{\frac{1}{2}} - 2m^{\frac{3}{12}+\frac{4}{12}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}} = m^{\frac{1}{2}} - 2m^{\frac{7}{12}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}}$

Приведем подобные слагаемые:

$m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}$

в) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = ((x^{\frac{1}{2}})^2 - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2) + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Упростим степени и приведем подобные слагаемые:

$x - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x + y$

Ответ: $x + y$

г) $\sqrt{b} + \sqrt{c} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2$

Перепишем квадратные корни в виде степеней: $b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2$.

Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - ((b^{\frac{1}{4}})^2 + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + (c^{\frac{1}{4}})^2) = b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{2}{4}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{2}{4}})$

Упростим степени и раскроем скобки:

$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{2}}) = b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}}$

Приведем подобные слагаемые:

$-2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} = -2(bc)^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $-2(bc)^{\frac{1}{4}}$