Номер 37.24, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.24, страница 144.

37.24 а) $ \frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$;

Б) $ \frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot \left(y^{-\frac{1}{2}}\right)^2}{\left(y^{\frac{4}{7}}\right)^{-2}}$;

В) $ \frac{\left(c^{-\frac{2}{3}}\right)^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}}$;

Г) $ \left(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}}\right)^{20}$.

a) $\frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$

1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = x^{-\frac{2}{3} + \frac{5}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1 = x$.

2. Теперь выражение выглядит так: $\frac{x}{x^{\frac{3}{5}}}$.

3. Упростим дробь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{x^1}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{1 - \frac{3}{5}} = x^{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $x^{\frac{2}{5}}$.

б) $\frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^2}{(y^{\frac{4}{7}})^{-2}}$

1. Упростим числитель. Сначала воспользуемся правилом возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(y^{-\frac{1}{2}})^2 = y^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{-1}$.

2. Теперь перемножим степени в числителе:
$y^{\frac{6}{7}} \cdot y^{-1} = y^{\frac{6}{7} + (-1)} = y^{\frac{6}{7} - \frac{7}{7}} = y^{-\frac{1}{7}}$.

3. Упростим знаменатель, также используя правило возведения степени в степень:
$(y^{\frac{4}{7}})^{-2} = y^{\frac{4}{7} \cdot (-2)} = y^{-\frac{8}{7}}$.

4. Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{y^{-\frac{1}{7}}}{y^{-\frac{8}{7}}} = y^{-\frac{1}{7} - (-\frac{8}{7})} = y^{-\frac{1}{7} + \frac{8}{7}} = y^{\frac{7}{7}} = y^1 = y$.

Ответ: $y$.

в) $\frac{(c^{-\frac{2}{3}})^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}}$

1. Упростим числитель, используя правило возведения степени в степень:
$(c^{-\frac{2}{3}})^{-4} = c^{-\frac{2}{3} \cdot (-4)} = c^{\frac{8}{3}}$.

2. Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней:
$c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} + \frac{3}{6}} = c^{\frac{4}{6}} = c^{\frac{2}{3}}$.

3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{c^{\frac{8}{3}}}{c^{\frac{2}{3}}} = c^{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}} = c^{\frac{6}{3}} = c^2$.

Ответ: $c^2$.

г) $(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}})^{20}$

1. Сначала упростим выражение внутри скобок, разделив степени с одинаковыми основаниями отдельно для $a$ и $b$:
$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}}$.
$\frac{b^{\frac{3}{5}}}{b^{\frac{2}{5}}} = b^{\frac{3}{5} - \frac{2}{5}} = b^{\frac{1}{5}}$.

2. Выражение в скобках становится: $a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}}$.

3. Теперь возведем полученное выражение в степень 20, используя правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}})^{20} = (a^{\frac{1}{4}})^{20} \cdot (b^{\frac{1}{5}})^{20} = a^{\frac{1}{4} \cdot 20} \cdot b^{\frac{1}{5} \cdot 20} = a^5 \cdot b^4$.

Ответ: $a^5 b^4$.