Номер 37.18, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.18, страница 143.

37.18 a) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$;

б) $y^{\frac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{y^2}$;

B) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$;

Г) $\sqrt[4]{c^3} \cdot c^{\frac{1}{4}}$.

a) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$

Чтобы упростить это выражение, представим корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, квадратный корень из $x$ это $x$ в степени $\frac{1}{2}$.

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Подставим это в исходное выражение:

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} = x^1 = x$

Ответ: $x$

б) $y^{\frac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{y^2}$

Представим корень третьей степени из $y^2$ в виде степени с рациональным показателем. По определению, $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $y$:

$y^{\frac{7}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}}$

Сложим показатели степеней:

$y^{\frac{7}{3} + \frac{2}{3}} = y^{\frac{7+2}{3}} = y^{\frac{9}{3}} = y^3$

Ответ: $y^3$

в) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$

Представим корень четвертой степени из $z$ (что то же самое, что $z^1$) в виде степени с рациональным показателем.

$\sqrt[4]{z} = z^{\frac{1}{4}}$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $z$:

$z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{1}{4}}$

Сложим показатели степеней:

$z^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = z^{\frac{3+1}{4}} = z^{\frac{4}{4}} = z^1 = z$

Ответ: $z$

г) $\sqrt[4]{c^3} \cdot c^{\frac{1}{4}}$

Представим корень четвертой степени из $c^3$ в виде степени с рациональным показателем.

$\sqrt[4]{c^3} = c^{\frac{3}{4}}$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $c$:

$c^{\frac{3}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}}$

Сложим показатели степеней:

$c^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = c^{\frac{3+1}{4}} = c^{\frac{4}{4}} = c^1 = c$

Ответ: $c$