Номер 37.16, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.16, страница 143.

37.16 a) $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}}$;

б) $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$;

В) $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$;

Г) $m^{\frac{1}{3}} : m^{2}$.

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойством степеней, которое гласит, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применяя это правило к заданному выражению $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}}$, получаем:
$x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = x^{\frac{1-3}{2}} = x^{\frac{-2}{2}} = x^{-1}$.
Ответ: $x^{-1}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем правило вычитания показателей при делении степеней с одинаковым основанием для выражения $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$.
$y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}} = y^{-\frac{5}{6} - \frac{1}{3}}$.
Чтобы выполнить вычитание в показателе степени, приведем дроби к общему знаменателю, который равен 6:
$-\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{-5 - 2}{6} = -\frac{7}{6}$.
Таким образом, результат равен $y^{-\frac{7}{6}}$.
Ответ: $y^{-\frac{7}{6}}$.

в) Применим то же свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$ к выражению $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$.
$z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{1}{5} - (-\frac{1}{2})} = z^{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}$.
Для сложения дробей в показателе найдем общий знаменатель, который равен 10:
$\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{2+5}{10} = \frac{7}{10}$.
В результате получаем $z^{\frac{7}{10}}$.
Ответ: $z^{\frac{7}{10}}$.

г) Для выражения $m^{\frac{1}{3}} : m^{2}$ используем правило деления степеней.
$m^{\frac{1}{3}} : m^{2} = m^{\frac{1}{3} - 2}$.
Для вычитания в показателе представим число 2 в виде дроби со знаменателем 3: $2 = \frac{6}{3}$.
$\frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = \frac{1-6}{3} = -\frac{5}{3}$.
Следовательно, итоговое выражение равно $m^{-\frac{5}{3}}$.
Ответ: $m^{-\frac{5}{3}}$.