Номер 37.11, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.11, страница 142.

37.11 Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt{b^{-1}}$; б) $\sqrt[12]{b^{-5}}$; в) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}}$; г) $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}}$.

а) Для того чтобы представить выражение $\sqrt{b^{-1}}$ в виде степени с рациональным показателем, мы используем основное свойство корней и степеней: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В данном выражении квадратный корень эквивалентен корню степени $n=2$. Показатель степени подкоренного выражения равен $m=-1$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt{b^{-1}} = \sqrt[2]{b^{-1}} = b^{\frac{-1}{2}} = b^{-\frac{1}{2}}$

Ответ: $b^{-\frac{1}{2}}$

б) Для выражения $\sqrt[12]{b^{-5}}$ мы также используем формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Здесь степень корня $n=12$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$\sqrt[12]{b^{-5}} = b^{\frac{-5}{12}} = b^{-\frac{5}{12}}$

Ответ: $b^{-\frac{5}{12}}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя правило $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Здесь $n=4$ и $m=-3$.

$\sqrt[4]{x^{-3}} = x^{\frac{-3}{4}} = x^{-\frac{3}{4}}$

Теперь исходное выражение принимает вид: $\frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}}$.

Далее используем свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^{-k}} = a^k$.

$\frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} = x^{-(-\frac{3}{4})} = x^{\frac{3}{4}}$

Ответ: $x^{\frac{3}{4}}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}}$.

Преобразуем знаменатель по формуле $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $n=3$ и $m=-2$.

$\sqrt[3]{a^{-2}} = a^{\frac{-2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$

Подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}}$.

Используем свойство $\frac{1}{a^{-k}} = a^k$:

$\frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} = a^{-(-\frac{2}{3})} = a^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$