Номер 37.12, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.12, страница 142.

37.12 Вычислите:

a) $4^{-\frac{1}{2}}$;

б) $8^{-\frac{1}{3}}$;

в) $32^{-\frac{1}{5}}$;

г) $16^{-\frac{1}{4}}$.

а) Для вычисления значения выражения $4^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойствами степеней.
Основное свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Свойство степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
Применим эти свойства последовательно:
$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$
Далее, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4^1} = \sqrt{4} = 2$.
Таким образом, $4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
Также можно решить, представив основание 4 в виде степени: $4 = 2^2$.
$4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для вычисления выражения $8^{-\frac{1}{3}}$ применим те же свойства.
$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}$
Вычислим знаменатель: $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$. Поскольку $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Следовательно, $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$.
Альтернативный способ — представить 8 в виде степени: $8=2^3$.
$8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Вычислим значение выражения $32^{-\frac{1}{5}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$
Знаменатель $32^{\frac{1}{5}}$ равен корню пятой степени из 32: $\sqrt[5]{32}$. Так как $2^5=32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
В результате получаем: $32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2}$.
Другой способ — представить 32 в виде степени: $32=2^5$.
$32^{-\frac{1}{5}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{1}{5})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Вычислим значение выражения $16^{-\frac{1}{4}}$.
Сначала избавимся от отрицательного показателя в степени:
$16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{4}}}$
Выражение в знаменателе $16^{\frac{1}{4}}$ равно корню четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16}$. Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Окончательный результат: $16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Альтернативный способ — представить 16 в виде степени: $16=2^4$.
$16^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$