Номер 37.13, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.13, страница 142.

37.13 Имеет ли смысл выражение:

a) $5^{-\frac{4}{3}}$;

б) $(-16)^{\frac{2}{3}}$;

в) $23^{-\frac{3}{2}}$;

г) $(-25)^{-\frac{1}{2}}$?

а)

Рассмотрим выражение $5^{-\frac{4}{3}}$.

Это степень с рациональным показателем. Выражение вида $a^x$, где $a$ — основание, а $x$ — показатель, имеет смысл для любого рационального показателя $x$, если основание $a$ является положительным числом.

В данном случае основание $a=5$, что больше нуля ($5 > 0$).

Следовательно, выражение имеет смысл. Его можно записать как $\frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{625}}$.

Ответ: да, имеет смысл.

б)

Рассмотрим выражение $(-16)^{\frac{2}{3}}$.

Это степень с отрицательным основанием $a = -16$ и рациональным показателем $x = \frac{p}{q} = \frac{2}{3}$.

Степень с отрицательным основанием и рациональным показателем $x = \frac{p}{q}$ (где дробь несократима) определена, если знаменатель показателя $q$ является нечетным числом.

В данном случае показатель $x = \frac{2}{3}$, его знаменатель $q=3$ — нечетное число.

Следовательно, выражение имеет смысл. Его можно вычислить: $(-16)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(-16)^2} = \sqrt[3]{256}$.

Ответ: да, имеет смысл.

в)

Рассмотрим выражение $23^{-\frac{3}{2}}$.

Это степень с рациональным показателем. Основание степени $a=23$ является положительным числом ($23 > 0$).

Поскольку основание положительное, степень с любым рациональным показателем имеет смысл.

Выражение можно записать как $\frac{1}{23^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{23^3}} = \frac{1}{23\sqrt{23}}$.

Ответ: да, имеет смысл.

г)

Рассмотрим выражение $(-25)^{-\frac{1}{2}}$.

Это степень с отрицательным основанием $a = -25$ и рациональным показателем $x = -\frac{1}{2}$.

Степень с отрицательным основанием и рациональным показателем $x = \frac{p}{q}$ (где дробь несократима) определена в множестве действительных чисел, только если знаменатель показателя $q$ является нечетным числом.

В данном случае показатель $x = -\frac{1}{2}$, его знаменатель $q=2$ — четное число.

Таким образом, данное выражение не определено в множестве действительных чисел. Попытка его вычислить приводит к извлечению корня четной степени из отрицательного числа: $(-25)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(-25)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{-25}}$. Корень $\sqrt{-25}$ не является действительным числом.

Ответ: нет, не имеет смысла (в области действительных чисел).