Номер 37.15, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.15, страница 143.

Упростите выражение:

37.15 a) $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}};$

б) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}};$

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}};$

г) $d^{5} \cdot d^{\frac{1}{2}}.$

Для решения всех пунктов используется свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

а) $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}}$

Применим свойство умножения степеней, сложив их показатели:

$c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} = c^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, итоговое выражение равно $c^{\frac{5}{6}}$.

Ответ: $c^{\frac{5}{6}}$

б) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$

Складываем показатели степеней с основанием $b$:

$b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$

Следовательно, упрощенное выражение имеет вид $b^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}}$

Складываем показатели степеней с основанием $a$:

$a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} + (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6}$

Сокращаем полученную дробь: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

В результате получаем $a^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$

г) $d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}}$

Складываем показатели степеней с основанием $d$:

$d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}} = d^{5 + \frac{1}{2}}$

Чтобы сложить целое число и дробь, представим целое число в виде дроби со знаменателем 2:

$5 + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10+1}{2} = \frac{11}{2}$

Таким образом, итоговое выражение равно $d^{\frac{11}{2}}$.

Ответ: $d^{\frac{11}{2}}$