Номер 37.8, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.8, страница 142.

Вычислите:

37.8 а) $(27 \cdot 3^{-4})^2;$

б) $16 \cdot (2^{-3})^2.$

a)

Для вычисления значения выражения $(27 \cdot 3^{-4})^2$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение: $(27 \cdot 3^{-4})^2 = (3^3 \cdot 3^{-4})^2$.

Теперь упростим выражение в скобках, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3+(-4)} = 3^{3-4} = 3^{-1}$.

Выражение принимает вид $(3^{-1})^2$.

Далее применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}$.

И, наконец, используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

б)

Для вычисления значения выражения $16 \cdot (2^{-3})^2$ также воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим множитель $(2^{-3})^2$, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$.

Теперь выражение выглядит так: $16 \cdot 2^{-6}$.

Представим число 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.

Подставим это значение в выражение: $2^4 \cdot 2^{-6}$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$2^4 \cdot 2^{-6} = 2^{4+(-6)} = 2^{4-6} = 2^{-2}$.

Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.