Номер 37.9, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.9, страница 142.

37.9 a) $\frac{6^{-4} \cdot 6^{-9}}{6^{-12}}$

б) $\frac{7^{-7} \cdot 7^{-8}}{7^{-13}}$

а)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель дроби. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$6^{-4} \cdot 6^{-9} = 6^{-4 + (-9)} = 6^{-13}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\frac{6^{-13}}{6^{-12}}$

Далее, при делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя (свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{6^{-13}}{6^{-12}} = 6^{-13 - (-12)} = 6^{-13 + 12} = 6^{-1}$

Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$6^{-1} = \frac{1}{6^1} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

б)

Решим второй пример, используя те же свойства степеней. Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:

$7^{-7} \cdot 7^{-8} = 7^{-7 + (-8)} = 7^{-15}$

Подставим полученное значение в исходную дробь:

$\frac{7^{-15}}{7^{-13}}$

Теперь выполним деление, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:

$\frac{7^{-15}}{7^{-13}} = 7^{-15 - (-13)} = 7^{-15 + 13} = 7^{-2}$

Вычислим итоговое значение, используя правило для отрицательной степени:

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

Ответ: $\frac{1}{49}$