Номер 37.5, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.5, страница 142.

Вычислите:

37.5 а) $49^{\frac{1}{2}}$; б) $1000^{\frac{1}{3}}$; в) $27^{\frac{1}{3}}$; г) $25^{\frac{1}{2}}$.

а) Чтобы вычислить $49^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $m=1$ и $n=2$, поэтому $49^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{49^1} = \sqrt{49}$. Квадратный корень из 49 равен 7, так как $7^2 = 49$.
Также можно представить основание 49 в виде степени: $49 = 7^2$. Тогда выражение примет вид: $(7^2)^{\frac{1}{2}}$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $7^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

б) Выражение $1000^{\frac{1}{3}}$ означает кубический корень из 1000. Согласно определению степени с рациональным показателем, $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. Таким образом, $1000^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1000}$. Нам нужно найти число, которое при возведении в третью степень даст 1000. Это число 10, так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Другой способ — представить 1000 как $10^3$: $1000^{\frac{1}{3}} = (10^3)^{\frac{1}{3}}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $10^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10

в) Для вычисления $27^{\frac{1}{3}}$ применим определение степени с дробным показателем: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. Следовательно, $27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$. Кубический корень из 27 равен 3, поскольку $3^3 = 27$.
Также можно представить основание 27 в виде степени: $27 = 3^3$. Тогда выражение можно записать как $(3^3)^{\frac{1}{3}}$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

г) Чтобы вычислить $25^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся тем, что степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню: $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$. Таким образом, $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25}$. Квадратный корень из 25 равен 5, так как $5^2 = 25$.
Другой способ — представить 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$. Тогда выражение примет вид: $(5^2)^{\frac{1}{2}}$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5