Номер 37.1, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.1, страница 141.

Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

37.1 а) $c^{\frac{3}{4}};$

б) $p^{5 + \frac{1}{2}};$

в) $x^{\frac{3}{4}};$

г) $y^{2 + \frac{2}{3}}.$

Для того чтобы представить степень с дробным показателем в виде корня, используется следующее тождество: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В этой формуле знаменатель дроби $n$ становится показателем степени корня, а числитель $m$ — показателем степени подкоренного выражения.

а) $c^{\frac{3}{4}}$

В этом выражении основание $a=c$, числитель показателя степени $m=3$, а знаменатель $n=4$.

Применяя формулу, получаем:

$c^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{c^3}$

Ответ: $\sqrt[4]{c^3}$

б) $p^{5\frac{1}{2}}$

Сначала необходимо преобразовать смешанное число в показателе степени в неправильную дробь:

$5\frac{1}{2} = 5 + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$

Таким образом, исходное выражение можно записать как $p^{\frac{11}{2}}$.

Теперь применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a=p$, $m=11$, $n=2$:

$p^{\frac{11}{2}} = \sqrt[2]{p^{11}}$

Показатель корня, равный 2, обычно не пишется, поэтому выражение принимает вид:

$\sqrt{p^{11}}$

Ответ: $\sqrt{p^{11}}$

в) $x^{\frac{3}{4}}$

Здесь основание $a=x$, числитель показателя $m=3$, знаменатель $n=4$.

Используем формулу:

$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$

Ответ: $\sqrt[4]{x^3}$

г) $y^{2\frac{2}{3}}$

Сначала преобразуем смешанный показатель в неправильную дробь:

$2\frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Получаем выражение $y^{\frac{8}{3}}$.

Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ для $a=y$, $m=8$, $n=3$:

$y^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{y^8}$

Ответ: $\sqrt[3]{y^8}$