Номер 36.25, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.25, страница 140.

Выполните действия:

36.25 a) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a});$

б) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}).$

а) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$

Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

1. Сначала сгруппируем и умножим последние две скобки: $(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$.
Применяя формулу разности квадратов, где $x=1$ и $y=\sqrt[4]{a}$, получаем:
$(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}) = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{4}} = 1 - a^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{a}$.

2. Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})$.

3. Снова применяем формулу разности квадратов, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$:
$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a$.

Ответ: $1 - a$.

б) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})$

Решение этого примера аналогично предыдущему и также основано на формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

1. Сначала сгруппируем и умножим последние две скобки: $(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})$.
Применяя формулу, где $x=\sqrt[4]{m}$ и $y=\sqrt[4]{n}$, получаем:
$(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) = (\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt[4]{n})^2 = m^{\frac{2}{4}} - n^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$.

2. Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})$.

3. Снова применяем формулу разности квадратов, где $x=\sqrt{m}$ и $y=\sqrt{n}$:
$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.

Ответ: $m - n$.