Номер 36.21, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.21, страница 140.

36.21 а) $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}}$;

В) $\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}}$;

Г) $\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}$.

а) Упростим выражение $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}$, последовательно внося множители под знаки корней, двигаясь от самого внутреннего корня к внешнему. Для этого будем использовать свойства $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b}$ и $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
1. Внесем множитель 2 под самый внутренний (квадратный) корень: $2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{2^3}$.
2. Выражение примет вид: $\sqrt[5]{2\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}}$.
3. Объединим внутренние корни: $\sqrt[3]{\sqrt{2^3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^3} = \sqrt[6]{2^3}$.
4. Выражение станет таким: $\sqrt[5]{2\sqrt[6]{2^3}}$.
5. Теперь внесем множитель 2 под корень шестой степени: $2\sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 2^3} = \sqrt[6]{2^9}$.
6. Выражение примет вид: $\sqrt[5]{\sqrt[6]{2^9}}$.
7. Объединим оставшиеся корни: $\sqrt[5]{\sqrt[6]{2^9}} = \sqrt[5 \cdot 6]{2^9} = \sqrt[30]{2^9}$.
8. Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 3: $\sqrt[30/3]{2^{9/3}} = \sqrt[10]{2^3} = \sqrt[10]{8}$.
Ответ: $\sqrt[10]{8}$

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}}$.
1. Внесем внутренний множитель $\frac{3}{4}$ под квадратный корень: $\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{3}{4}}$.
2. Выражение примет вид: $\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{4}}}}$.
3. Объединим внутренние корни: $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{4}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{\frac{3}{4}} = \sqrt[6]{\frac{3}{4}}$.
4. Выражение станет таким: $\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[6]{\frac{3}{4}}}$.
5. Внесем множитель $\frac{4}{3}$ под корень шестой степени: $\frac{4}{3}\sqrt[6]{\frac{3}{4}} = \sqrt[6]{(\frac{4}{3})^6 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[6]{\frac{4^6}{3^6} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[6]{\frac{4^5}{3^5}} = \sqrt[6]{(\frac{4}{3})^5}$.
6. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[4]{\sqrt[6]{(\frac{4}{3})^5}}$.
7. Объединим внешние корни: $\sqrt[4]{\sqrt[6]{(\frac{4}{3})^5}} = \sqrt[4 \cdot 6]{(\frac{4}{3})^5} = \sqrt[24]{(\frac{4}{3})^5}$.
Ответ: $\sqrt[24]{(\frac{4}{3})^5}$

в) Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}}$.
1. Внесем внутренний множитель $\frac{3}{2}$ под квадратный корень: $\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
2. Выражение примет вид: $\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{2}}}}$.
3. Объединим внутренние корни: $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{\frac{3}{2}} = \sqrt[6]{\frac{3}{2}}$.
4. Выражение станет таким: $\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[6]{\frac{3}{2}}}$.
5. Внесем множитель $\frac{2}{3}$ под корень шестой степени: $\frac{2}{3}\sqrt[6]{\frac{3}{2}} = \sqrt[6]{(\frac{2}{3})^6 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt[6]{\frac{2^6}{3^6} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt[6]{\frac{2^5}{3^5}} = \sqrt[6]{(\frac{2}{3})^5}$.
6. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[3]{\sqrt[6]{(\frac{2}{3})^5}}$.
7. Объединим внешние корни: $\sqrt[3]{\sqrt[6]{(\frac{2}{3})^5}} = \sqrt[3 \cdot 6]{(\frac{2}{3})^5} = \sqrt[18]{(\frac{2}{3})^5}$.
Ответ: $\sqrt[18]{(\frac{2}{3})^5}$

г) Упростим выражение $\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}$. Внешний корень является квадратным, то есть его показатель равен 2.
1. Внесем внутренний множитель 3 под кубический корень: $3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^4}$.
2. Выражение примет вид: $\sqrt{3\sqrt[4]{\sqrt[3]{3^4}}}$.
3. Объединим внутренние корни: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{3^4}} = \sqrt[4 \cdot 3]{3^4} = \sqrt[12]{3^4}$.
4. Выражение станет таким: $\sqrt{3\sqrt[12]{3^4}}$.
5. Внесем множитель 3 под корень двенадцатой степени: $3\sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12]{3^{12} \cdot 3^4} = \sqrt[12]{3^{16}}$.
6. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{\sqrt[12]{3^{16}}}$.
7. Объединим внешние корни: $\sqrt[2]{\sqrt[12]{3^{16}}} = \sqrt[2 \cdot 12]{3^{16}} = \sqrt[24]{3^{16}}$.
8. Сократим показатель корня и степень подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, равный 8: $\sqrt[24/8]{3^{16/8}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
Ответ: $\sqrt[3]{9}$