Номер 36.16, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.16, страница 139.

36.16 Упростите выражение:

a) $ \sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8} $;

б) $ 6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{9xy} - \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3}y $.

a)

Для упрощения выражения $ \sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8} $ необходимо вынести множители из-под знаков корней, чтобы привести их к одинаковым подкоренным выражениям, а затем сгруппировать и сложить подобные слагаемые.

1. Упростим каждый член выражения, содержащий корень, вынося множитель из-под знака корня:
$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $
$ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3} $
$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$ 5\sqrt{2} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt{2} $

3. Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $ \sqrt{2} $ и члены с $ \sqrt[3]{3} $):
$ (5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (-\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{3}) $

4. Выполним сложение и вычитание коэффициентов при одинаковых корнях:
$ (5 - 6 + 2)\sqrt{2} + (-1 + 2)\sqrt[3]{3} = 1\sqrt{2} + 1\sqrt[3]{3} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} $

Ответ: $ \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} $

б)

Для упрощения выражения $ 6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{9xy} - \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3y} $ необходимо упростить каждый член, используя свойства корней и степеней, а затем привести подобные слагаемые. Предполагается, что переменные принимают значения, при которых выражение имеет смысл ($ x > 0 $, $ y \ge 0 $).

1. Упростим каждый член выражения:
$ \sqrt{9xy} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{xy} = 3\sqrt{xy} $
$ \sqrt[8]{x^2} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x} $
$ \frac{7}{x}\sqrt{x^3y} = \frac{7}{x}\sqrt{x^2 \cdot xy} = \frac{7}{x} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{xy} = \frac{7}{x} \cdot x\sqrt{xy} = 7\sqrt{xy} $

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$ 6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - 3\sqrt{xy} - \sqrt[4]{x} + 7\sqrt{xy} $

3. Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $ \sqrt[4]{x} $ и члены с $ \sqrt{xy} $):
$ (6\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{x}) + (\sqrt{xy} - 3\sqrt{xy} + 7\sqrt{xy}) $

4. Выполним сложение и вычитание коэффициентов:
$ (6 - 1)\sqrt[4]{x} + (1 - 3 + 7)\sqrt{xy} = 5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy} $

Ответ: $ 5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy} $