Номер 36.11, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.11, страница 138.

36.11 Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$;

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$;

в) $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$;

г) $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{3}$ и $\sqrt[3]{2}$.

а)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$, необходимо привести их к одному и тому же показателю корня. Показатели данных корней — 2, 3 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел — 6. Приведем все корни к показателю 6, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$.

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^2} = \sqrt[6]{16}$

Число $\sqrt[6]{18}$ уже имеет показатель 6.

Теперь сравним подкоренные выражения: 27, 16 и 18. Поскольку функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Расположим подкоренные выражения в порядке возрастания: $16 < 18 < 27$.

Следовательно, $\sqrt[6]{16} < \sqrt[6]{18} < \sqrt[6]{27}$.

Возвращаясь к исходным числам, получаем: $\sqrt[3]{4} < \sqrt[6]{18} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}, \sqrt[6]{18}, \sqrt{3}$.

б)

Чтобы сравнить числа $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$, приведем их к общему показателю корня. Показатели корней — 5, 3 и 15. НОК(5, 3, 15) = 15.

Приведем корни к показателю 15:

$\sqrt[5]{4} = \sqrt[5 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[15]{64}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Число $\sqrt[15]{40}$ уже имеет нужный показатель.

Сравним подкоренные выражения: 64, 32 и 40.

Расположим их в порядке возрастания: $32 < 40 < 64$.

Следовательно, $\sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[15]{64}$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[5]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}, \sqrt[15]{40}, \sqrt[5]{4}$.

в)

Сравним числа $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$. Общий показатель корня — НОК(5, 3, 15) = 15.

Приведем корни к показателю 15:

$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Число $\sqrt[15]{30}$ уже имеет показатель 15.

Сравним подкоренные выражения: 27, 32 и 30.

В порядке возрастания: $27 < 30 < 32$.

Отсюда следует, что $\sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[15]{32}$.

Значит, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $\sqrt[5]{3} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3}, \sqrt[15]{30}, \sqrt[3]{2}$.

г)

Сравним числа $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{3}$ и $\sqrt[3]{2}$. Показатели корней — 4, 6 и 3. НОК(4, 6, 3) = 12. Приведем все корни к общему показателю 12.

$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[12]{64}$

$\sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[12]{9}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 4]{2^4} = \sqrt[12]{16}$

Теперь сравним полученные подкоренные выражения: 64, 9 и 16.

В порядке возрастания: $9 < 16 < 64$.

Следовательно, $\sqrt[12]{9} < \sqrt[12]{16} < \sqrt[12]{64}$.

Возвращаясь к исходным числам, получаем порядок: $\sqrt[6]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[4]{4}$.

Ответ: $\sqrt[6]{3}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{4}$.