Номер 36.13, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.13, страница 138.

36.13 а) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y);$

б) $(3 + \sqrt[4]{a})(9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a});$

в) $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p - 2\sqrt{pq} + q);$

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}).$

а) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$, воспользуемся формулой суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$.

В данном случае, пусть $A = \sqrt{x}$ и $B = \sqrt{y}$. Тогда второй множитель $x - \sqrt{xy} + y$ можно представить как $(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = A^2 - AB + B^2$.

Следовательно, все выражение равно $A^3+B^3 = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3$.

Упростим кубы: $(\sqrt{x})^3 = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x}$ и $(\sqrt{y})^3 = (\sqrt{y})^2 \cdot \sqrt{y} = y\sqrt{y}$.

Ответ: $x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$.

б) Рассмотрим выражение $(3 + \sqrt[4]{a})(9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a})$. Оно также соответствует формуле суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$.

Пусть $A = 3$ и $B = \sqrt[4]{a}$. Тогда $A^2 = 3^2 = 9$, $B^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = a^{2/4} = a^{1/2} = \sqrt{a}$, и $AB = 3\sqrt[4]{a}$.

Второй множитель $9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a}$ является неполным квадратом разности $A^2 - AB + B^2$.

Таким образом, произведение равно $A^3+B^3 = 3^3 + (\sqrt[4]{a})^3 = 27 + a^{3/4} = 27 + \sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $27 + \sqrt[4]{a^3}$.

в) Выражение $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p - 2\sqrt{pq} + q)$ является произведением суммы на неполный квадрат разности, что соответствует формуле суммы кубов $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$.

Обозначим $A = 2\sqrt{p}$ и $B = \sqrt{q}$.

Тогда $A^2 = (2\sqrt{p})^2 = 4p$, $B^2 = (\sqrt{q})^2 = q$, и $AB = (2\sqrt{p})(\sqrt{q}) = 2\sqrt{pq}$.

Применяя формулу, получаем: $(2\sqrt{p})^3 + (\sqrt{q})^3 = 8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$.

Ответ: $8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$.

г) Для упрощения выражения $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})$ воспользуемся формулой разности кубов: $(A-B)(A^2+AB+B^2) = A^3-B^3$.

Пусть $A = \sqrt[6]{a}$ и $B = \sqrt[6]{b}$.

Преобразуем первый множитель: $\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = a^{2/6} = (\sqrt[6]{a})^2 = A^2$, $\sqrt[3]{b} = b^{1/3} = b^{2/6} = (\sqrt[6]{b})^2 = B^2$ и $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} = AB$.

Таким образом, выражение можно записать в виде $(A^2+AB+B^2)(A-B)$, что равно $A^3-B^3$.

Подставим значения $A$ и $B$ обратно: $(\sqrt[6]{a})^3 - (\sqrt[6]{b})^3 = a^{3/6} - b^{3/6} = a^{1/2} - b^{1/2} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.