Номер 36.17, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.17, страница 139.

Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения.

36.17 a) $\frac{\sqrt{10b}-\sqrt{15}}{\sqrt{15b}-\sqrt{5}};$

В) $\frac{\sqrt[4]{14}+\sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k}-\sqrt[4]{14}};$

б) $\frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{xy}};$

Г) $\frac{\sqrt[4]{a^2}-\sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a}-\sqrt[4]{a^2d}}.$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{10b} - \sqrt{15}}{\sqrt{15b} - \sqrt{5}}$, найдем и вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе. В данном случае это $\sqrt{5}$.
В числителе: $\sqrt{10b} - \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 2b} - \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})$.
В знаменателе: $\sqrt{15b} - \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 3b} - \sqrt{5 \cdot 1} = \sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $\sqrt{5}$:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2b} - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3b} - 1)} = \frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1}$.
Дальнейшее сокращение невозможно. При этом должно выполняться условие $\sqrt{15b} - \sqrt{5} \neq 0$, то есть $15b \neq 5$ или $b \neq \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2b} - \sqrt{3}}{\sqrt{3b} - 1}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy}}$, найдем и вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе. В данном случае это $\sqrt[3]{x}$.
В числителе: $\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})$.
В знаменателе: $\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x}(1 - \sqrt[3]{y})$.
Подставим выражения в дробь и сократим на $\sqrt[3]{x}$ (при условии $x \neq 0$):
$\frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}(1 - \sqrt[3]{y})} = \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{1 - \sqrt[3]{y}}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $1 - \sqrt[3]{y} \neq 0$, что означает $y \neq 1$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}{1 - \sqrt[3]{y}}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14}}$, найдем и вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это $\sqrt[4]{7}$.
В числителе: $\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k} = \sqrt[4]{7 \cdot 2} + \sqrt[4]{7 \cdot 3k} = \sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k})$.
В знаменателе: $\sqrt[4]{7k} - \sqrt[4]{14} = \sqrt[4]{7 \cdot k} - \sqrt[4]{7 \cdot 2} = \sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2})$.
Подставим выражения в дробь и сократим на $\sqrt[4]{7}$:
$\frac{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k})}{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2})} = \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2} \neq 0$, что означает $k \neq 2$.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} - \sqrt[4]{2}}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d}}$, найдем и вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это $\sqrt[4]{a}$.
В числителе: $\sqrt[4]{a^2} - \sqrt[4]{ad} = \sqrt[4]{a \cdot a} - \sqrt[4]{a \cdot d} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d})$.
В знаменателе: $\sqrt[4]{3a} - \sqrt[4]{a^2d} = \sqrt[4]{a \cdot 3} - \sqrt[4]{a \cdot ad} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad})$.
Подставим выражения в дробь и сократим на $\sqrt[4]{a}$ (при условии $a \neq 0$):
$\frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d})}{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad})} = \frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad} \neq 0$, что означает $ad \neq 3$.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{ad}}$.