Номер 36.22, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.22, страница 140.

36.22 Сравните числа:

а) $-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}$ и $-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}};

б) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5};

в) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}};

г) $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}.

а) Сравним числа $-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}$ и $-\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}$.

Оба числа отрицательные. Чтобы их сравнить, сначала сравним их модули: $\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}$ и $\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}$. Для этого приведем оба выражения к корню одинаковой степени.

Преобразуем первое выражение:

$\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4 \cdot 10}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{16 \cdot 10}} = \sqrt[5 \cdot 4]{160} = \sqrt[20]{160}$.

Преобразуем второе выражение:

$\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{5^5 \cdot 99}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{3125 \cdot 99}} = \sqrt[4 \cdot 5]{309375} = \sqrt[20]{309375}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $160$ и $309375$.

Так как $160 < 309375$, то $\sqrt[20]{160} < \sqrt[20]{309375}$.

Это означает, что $|\-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}| < |-\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}|$.

При сравнении отрицательных чисел, большим является то, модуль которого меньше. Следовательно, $-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}} > -\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}$.

Ответ: $-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}} > -\sqrt[4]{5\sqrt[5]{99}}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$.

Приведем оба положительных числа к корню одинаковой степени, в данном случае к корню 6-й степени.

Преобразуем первое число:

$\sqrt{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt[2 \cdot 3]{24} = \sqrt[6]{24}$.

Преобразуем второе число:

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $24$ и $25$.

Так как $24 < 25$, то $\sqrt[6]{24} < \sqrt[6]{25}$.

Следовательно, $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.

в) Сравним числа $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

Приведем оба положительных числа к корню одинаковой степени. Наименьший общий показатель корней будет $16$.

Преобразуем первое число:

$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[16]{81}$.

Преобразуем второе число:

$\sqrt[8]{6\sqrt{2}} = \sqrt[8]{\sqrt{6^2 \cdot 2}} = \sqrt[8]{\sqrt{36 \cdot 2}} = \sqrt[8 \cdot 2]{72} = \sqrt[16]{72}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $81$ и $72$.

Так как $81 > 72$, то $\sqrt[16]{81} > \sqrt[16]{72}$.

Следовательно, $\sqrt[4]{3} > \sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt[4]{3} > \sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

г) Сравним числа $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Оба числа отрицательные. Сравним их модули, приведя выражения к корню 6-й степени.

Найдем модуль первого числа:

$|\-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}| = \sqrt{2\sqrt[3]{6}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 6}} = \sqrt[6]{48}$.

Найдем модуль второго числа:

$|\-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}| = \sqrt[3]{5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{5^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 2}} = \sqrt[6]{50}$.

Теперь сравним модули: $\sqrt[6]{48}$ и $\sqrt[6]{50}$.

Так как $48 < 50$, то $\sqrt[6]{48} < \sqrt[6]{50}$.

Это означает, что $|\-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}| < |-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}|$.

При сравнении отрицательных чисел, большим является то, модуль которого меньше.

Следовательно, $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Ответ: $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.