Номер 36.27, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.27, страница 140.

Разложите на множители:

36.27 а) $\sqrt{2x} - \sqrt{3y} + \sqrt{2y} - \sqrt{3x};$

б) $\sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2y^3};$

в) $\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4};$

г) $b\sqrt{a} - ab + \sqrt{ab} - ab\sqrt{b}.$

а) Для разложения на множители выражения $\sqrt{2x} - \sqrt{3y} + \sqrt{2y} - \sqrt{3x}$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие $\sqrt{x}$, и слагаемые, содержащие $\sqrt{y}$.
$(\sqrt{2x} - \sqrt{3x}) + (\sqrt{2y} - \sqrt{3y})$
Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, перепишем выражение:
$(\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{3}\sqrt{x}) + (\sqrt{2}\sqrt{y} - \sqrt{3}\sqrt{y})$
Вынесем общие множители $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ за скобки в каждой группе:
$\sqrt{x}(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{y}(\sqrt{2} - \sqrt{3})$
Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ за скобки:
$(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Ответ: $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2y^3}$.
Сначала упростим некоторые члены: $\sqrt[3]{4x^2} = \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2}$ и $\sqrt[4]{2y^3} = \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3}$.
Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{2}\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} - \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3}$.
Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{2}\sqrt[3]{x^2}) - (\sqrt[3]{4}\sqrt[4]{y^3} + \sqrt[4]{2}\sqrt[4]{y^3})$
Вынесем общие множители в каждой группе:
$\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2}) - \sqrt[4]{y^3}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2})$
Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2})$ за скобки:
$(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{y^3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2})$
Ответ: $(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[4]{y^3})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[4]{2})$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{ab^3} - \sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{b^4}$.
Упростим каждый член, вынося множители из-под знака корня:
$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a}$
$\sqrt[3]{ab^3} = \sqrt[3]{a \cdot b^3} = b\sqrt[3]{a}$
$\sqrt[3]{a^3b} = \sqrt[3]{a^3 \cdot b} = a\sqrt[3]{b}$
$\sqrt[3]{b^4} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b} = b\sqrt[3]{b}$
Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:
$a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a} - a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{b}$
Сгруппируем слагаемые:
$(a\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{a}) - (a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{b})$
Вынесем общие множители в каждой группе:
$\sqrt[3]{a}(a + b) - \sqrt[3]{b}(a + b)$
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$
Ответ: $(a + b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$.

г) Для разложения на множители выражения $b\sqrt{a} - ab + \sqrt{ab} - ab\sqrt{b}$ применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим.
$(b\sqrt{a} - ab\sqrt{b}) + (\sqrt{ab} - ab)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $b\sqrt{a}$, во второй — $\sqrt{ab}$.
$b\sqrt{a}(1 - \sqrt{a}\sqrt{b}) + \sqrt{ab}(1 - \sqrt{ab})$
$b\sqrt{a}(1 - \sqrt{ab}) + \sqrt{ab}(1 - \sqrt{ab})$
Теперь вынесем общий множитель $(1 - \sqrt{ab})$ за скобки:
$(b\sqrt{a} + \sqrt{ab})(1 - \sqrt{ab})$
В первом множителе $(b\sqrt{a} + \sqrt{ab})$ можно вынести за скобку $\sqrt{a}$:
$(\sqrt{a}(b + \sqrt{b}))(1 - \sqrt{ab})$
В выражении $(b + \sqrt{b})$ можно вынести за скобку $\sqrt{b}$:
$(\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{b} + 1))(1 - \sqrt{ab})$
$\sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1)(1 - \sqrt{ab})$
Ответ: $\sqrt{ab}(\sqrt{b} + 1)(1 - \sqrt{ab})$.