Номер 36.29, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.29, страница 141.

36.29 Сократите дробь:

а) $\frac{6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 1}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}}$

б) $\frac{3\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} - 2}{9\sqrt{x} - 1}$

а) $ \frac{6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 1}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}} $

Для упрощения дроби введем замену. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = y^2$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$ \frac{6y^2 + y - 1}{2y^2 + y} $

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель раскладывается вынесением общего множителя за скобки: $2y^2 + y = y(2y + 1)$.

Для разложения числителя $6y^2 + y - 1$ найдем корни квадратного уравнения $6y^2 + y - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Следовательно, разложение числителя на множители имеет вид: $6(y - (-\frac{1}{2}))(y - \frac{1}{3}) = 6(y + \frac{1}{2})(y - \frac{1}{3}) = 2(y + \frac{1}{2}) \cdot 3(y - \frac{1}{3}) = (2y+1)(3y-1)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{(2y+1)(3y-1)}{y(2y+1)} $

Сократим общий множитель $(2y+1)$, при условии, что $2y+1 \neq 0$:

$ \frac{3y-1}{y} $

Теперь выполним обратную замену $y = \sqrt[3]{x}$:

$ \frac{3\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} $.

б) $ \frac{3\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} - 2}{9\sqrt{x} - 1} $

Для упрощения дроби введем замену. Пусть $z = \sqrt[4]{x}$. Поскольку корень четвертой степени из действительного числа определен для неотрицательных чисел, должно выполняться условие $x \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = z^2$.

Подставим новую переменную в исходное выражение:

$ \frac{3z^2 - 5z - 2}{9z^2 - 1} $

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель является разностью квадратов: $9z^2 - 1 = (3z)^2 - 1^2 = (3z-1)(3z+1)$.

Для разложения числителя $3z^2 - 5z - 2$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3z^2 - 5z - 2 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения:

$z_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$z_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Следовательно, разложение числителя: $3(z - (-\frac{1}{3}))(z - 2) = 3(z + \frac{1}{3})(z-2) = (3z+1)(z-2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(3z+1)(z-2)}{(3z-1)(3z+1)} $

Сократим общий множитель $(3z+1)$. Так как $z = \sqrt[4]{x} \ge 0$, то $3z+1 = 3\sqrt[4]{x}+1 > 0$, поэтому этот множитель никогда не равен нулю, и сокращение всегда возможно.

$ \frac{z-2}{3z-1} $

Выполним обратную замену $z = \sqrt[4]{x}$:

$ \frac{\sqrt[4]{x} - 2}{3\sqrt[4]{x} - 1} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[4]{x} - 2}{3\sqrt[4]{x} - 1} $.