Номер 36.14, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.14, страница 138.

36.14 a) $ \left(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n}\right)^2; $

б) $ \left(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3}\right)^2; $

В) $ \left(a^2 - \sqrt{a}\right)^2; $

Г) $ \left(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2}\right)^2. $

а)

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = 2\sqrt[3]{n}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})^2 = (\sqrt[3]{m})^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} + (2\sqrt[3]{n})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}$

$2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} = 4\sqrt[3]{mn}$

$(2\sqrt[3]{n})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt[3]{n})^2 = 4\sqrt[3]{n^2}$

Соберем все вместе:

$\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2}$.

б)

Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt{3}$.

Подставляем в формулу:

$(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt[3]{5})^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

Упрощаем:

$(\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Средний член $2 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{3}$ упростить нельзя, так как корни имеют разные степени.

Получаем выражение:

$\sqrt[3]{25} - 2\sqrt[3]{5}\sqrt{3} + 3$

Ответ: $\sqrt[3]{25} - 2\sqrt[3]{5}\sqrt{3} + 3$.

в)

Снова применяем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном примере $x = a^2$ и $y = \sqrt{a}$.

Подставляем в формулу:

$(a^2 - \sqrt{a})^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2$

Выполняем действия:

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$

$(\sqrt{a})^2 = a$

Собираем все части:

$a^4 - 2a^2\sqrt{a} + a$

Ответ: $a^4 - 2a^2\sqrt{a} + a$.

г)

Для этого выражения используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = \sqrt[3]{4}$ и $b = 2\sqrt{2}$.

Подставляем в формулу:

$(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})^2 = (\sqrt[3]{4})^2 + 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

$2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2^{2/3} \cdot 2^{1/2} = 4 \cdot 2^{2/3 + 1/2} = 4 \cdot 2^{4/6 + 3/6} = 4 \cdot 2^{7/6} = 4 \cdot \sqrt[6]{2^7} = 4 \cdot \sqrt[6]{64 \cdot 2} = 4 \cdot 2\sqrt[6]{2} = 8\sqrt[6]{2}$

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Складываем полученные выражения и для удобства располагаем целое число в начале:

$8 + 2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2}$

Ответ: $8 + 2\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[6]{2}$.