Номер 37.7, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.7, страница 142.

37.7 Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной:

а) $\frac{a^5 \cdot a^{-8}}{a^{-2}}$ при $a = 6$;

б) $\frac{b^{-9}}{(b^2)^{-3}}$ при $b = \frac{1}{2}$;

в) $\frac{p^{-9}}{p^{-2} \cdot p^{-5}}$ при $p = \frac{1}{2}$;

г) $(t^{-3})^2 \cdot \frac{1}{t^{-5}}$ при $t = 0,1$.

а) Дано выражение $\frac{a^5 \cdot a^{-8}}{a^{-2}}$ при $a = 6$.

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней. В числителе при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^5 \cdot a^{-8} = a^{5+(-8)} = a^{-3}$

Теперь выражение принимает вид $\frac{a^{-3}}{a^{-2}}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{a^{-3}}{a^{-2}} = a^{-3 - (-2)} = a^{-3+2} = a^{-1}$

Выражение в виде степени: $a^{-1}$.

Теперь найдем значение этого выражения при $a=6$:

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) Дано выражение $\frac{b^{-9}}{(b^2)^{-3}}$ при $b = \frac{1}{2}$.

Упростим знаменатель, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(b^2)^{-3} = b^{2 \cdot (-3)} = b^{-6}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{b^{-9}}{b^{-6}}$. Применим правило деления степеней:

$\frac{b^{-9}}{b^{-6}} = b^{-9 - (-6)} = b^{-9+6} = b^{-3}$

Выражение в виде степени: $b^{-3}$.

Найдем его значение при $b = \frac{1}{2}$:

$(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$

Ответ: $8$.

в) Дано выражение $\frac{p^{-9}}{p^{-2} \cdot p^{-5}}$ при $p = \frac{1}{2}$.

Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней:

$p^{-2} \cdot p^{-5} = p^{-2 + (-5)} = p^{-7}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{p^{-9}}{p^{-7}}$. Применим правило деления степеней:

$\frac{p^{-9}}{p^{-7}} = p^{-9 - (-7)} = p^{-9+7} = p^{-2}$

Выражение в виде степени: $p^{-2}$.

Найдем его значение при $p = \frac{1}{2}$:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$

Ответ: $4$.

г) Дано выражение $(t^{-3})^2 \cdot \frac{1}{t^{-5}}$ при $t = 0,1$.

Упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $(t^{-3})^2 = t^{-3 \cdot 2} = t^{-6}$.

Второй множитель: $\frac{1}{t^{-5}} = t^5$ (используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$).

Теперь перемножим полученные выражения:

$t^{-6} \cdot t^5 = t^{-6+5} = t^{-1}$

Выражение в виде степени: $t^{-1}$.

Найдем его значение при $t = 0,1$ (что то же самое, что $t=\frac{1}{10}$):

$(0,1)^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10^1 = 10$

Ответ: $10$.