Номер 37.21, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.21, страница 143.

37.21 a) $4^{0,6} \cdot 2^{0,2} : 2^{-0,6}$;

В) $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : 4^{-\frac{1}{3}}$;

Б) $3 \cdot 9^{0,4} : \sqrt[5]{3^{-1}}$;

Г) $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} : \sqrt[3]{2}$.

а) Чтобы упростить выражение $4^{0,6} \cdot 2^{0,2} : 2^{-0,6}$, приведем все степени к одному основанию $2$. Поскольку $4 = 2^2$, мы можем переписать $4^{0,6}$ как $(2^2)^{0,6}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $2^{2 \cdot 0,6} = 2^{1,2}$. Теперь исходное выражение выглядит так: $2^{1,2} \cdot 2^{0,2} : 2^{-0,6}$. Применяя правила действий со степенями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$), объединяем показатели: $2^{1,2 + 0,2 - (-0,6)} = 2^{1,4 + 0,6} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

б) Рассмотрим выражение $3 \cdot 9^{0,4} : \sqrt[5]{3^{-1}}$. Приведем все множители к степеням с основанием $3$. Мы знаем, что $3 = 3^1$ и $9 = 3^2$. Корень можно представить в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[5]{3^{-1}} = (3^{-1})^{\frac{1}{5}} = 3^{-\frac{1}{5}} = 3^{-0,2}$. Подставим эти значения в выражение: $3^1 \cdot (3^2)^{0,4} : 3^{-0,2}$. Упростим второй множитель: $(3^2)^{0,4} = 3^{2 \cdot 0,4} = 3^{0,8}$. Теперь выражение имеет вид: $3^1 \cdot 3^{0,8} : 3^{-0,2}$. Выполним действия с показателями: $3^{1 + 0,8 - (-0,2)} = 3^{1,8 + 0,2} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

в) Дано выражение $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{1\frac{2}{3}} : 4^{-\frac{1}{3}}$. Для упрощения приведем все степени к основанию $2$. Заменим $4$ на $2^2$. Также преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Выражение примет вид: $(2^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : (2^2)^{-\frac{1}{3}}$. Упростим степени с основанием $2^2$: $2^{2 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : 2^{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : 2^{-\frac{2}{3}}$. Теперь объединим показатели степеней с одинаковым основанием: $2^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3} - (-\frac{2}{3})} = 2^{\frac{2+5+2}{3}} = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

г) Упростим выражение $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} : \sqrt[3]{2}$. Приведем все числа к степеням с основанием $2$. Мы знаем, что $8 = 2^3$, $16 = 2^4$ и $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$. Подставляем в выражение: $(2^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{3}} : 2^{\frac{1}{3}}$. Применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} \cdot 2^{4 \cdot \frac{1}{3}} : 2^{\frac{1}{3}} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{4}{3}} : 2^{\frac{1}{3}}$. Выполняем действия с показателями: $2^{-1 + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{-1 + \frac{4-1}{3}} = 2^{-1 + \frac{3}{3}} = 2^{-1+1} = 2^0 = 1$.
Ответ: 1