Номер 37.23, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.23, страница 143.

Упростите выражение:

37.23 а) $(m^{-3})^{\frac{1}{3}}$;

б) $(8x^{-1\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}};

в) $(x^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{2}{3}};

г) $(81x^{-4})^{\frac{3}{4}}.

а) Чтобы упростить выражение $(m^{-3})^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$. В этом случае показатели степеней перемножаются.

$(m^{-3})^{\frac{1}{3}} = m^{-3 \cdot \frac{1}{3}} = m^{-1}$

Выражение с отрицательным показателем можно записать в виде дроби:

$m^{-1} = \frac{1}{m}$

Ответ: $m^{-1}$

б) Чтобы упростить выражение $(8x^{-1\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$, сначала преобразуем смешанную степень $-1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Теперь выражение выглядит так: $(8x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$.

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень: $(ab)^c = a^c b^c$.

$(8x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} \cdot (x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$

Вычислим каждую часть отдельно. Для числа 8, представим его как $2^3$:

$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$

Для переменной $x$ используем правило возведения степени в степень:

$(x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = x^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$

Ответ: $\frac{4}{x}$

в) Чтобы упростить выражение $(x^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{2}{3}}$, воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.

$(x^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{2}{3}} = x^{(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{2}{3})}$

Перемножим показатели. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:

$(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Следовательно, получаем:

$x^{\frac{1}{2}}$

Это выражение также можно записать в виде квадратного корня:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$

г) Чтобы упростить выражение $(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$, воспользуемся свойством возведения произведения в степень: $(ab)^c = a^c b^c$.

$(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = (81)^{-\frac{3}{4}} \cdot (x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$

Вычислим каждую часть отдельно. Для числа 81, представим его как $3^4$:

$(81)^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Для переменной $x$ используем правило возведения степени в степень:

$(x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = x^{-4 \cdot (-\frac{3}{4})} = x^3$

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{27} \cdot x^3 = \frac{x^3}{27}$

Ответ: $\frac{x^3}{27}$