Номер 37.29, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §37. Обобщение понятия о показателе степени - номер 37.29, страница 144.

Условие.

37.29 a) $\frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}}}$;

б) $\frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Дано выражение: $$ \frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}}} $$ Знаменатель этой дроби можно рассматривать как разность кубов. Представим $c^{\frac{3}{2}}$ как $(c^{\frac{1}{2}})^3$ и $d^{\frac{3}{2}}$ как $(d^{\frac{1}{2}})^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае, пусть $a = c^{\frac{1}{2}}$ и $b = d^{\frac{1}{2}}$. Тогда: $$ c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}} = (c^{\frac{1}{2}})^3 - (d^{\frac{1}{2}})^3 = (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}) \cdot ((c^{\frac{1}{2}})^2 + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + (d^{\frac{1}{2}})^2) $$ Упрощая вторую скобку, получаем: $$ (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d) $$

Теперь подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби: $$ \frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{(c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)} $$

Мы видим, что выражение $(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить его, при условии, что оно не равно нулю. $$ \frac{\cancel{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}}{(c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(\cancel{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d})} = \frac{1}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}} $$

Ответ: $\frac{1}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}}$.

б)

Дано выражение: $$ \frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} $$ Числитель этой дроби, $m + n$, можно рассматривать как сумму кубов. Представим $m$ как $(m^{\frac{1}{3}})^3$ и $n$ как $(n^{\frac{1}{3}})^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае, пусть $a = m^{\frac{1}{3}}$ и $b = n^{\frac{1}{3}}$. Тогда: $$ m + n = (m^{\frac{1}{3}})^3 + (n^{\frac{1}{3}})^3 = (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}) \cdot ((m^{\frac{1}{3}})^2 - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2) $$ Упрощая вторую скобку, получаем: $$ (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}) $$

Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби: $$ \frac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} $$

Мы видим, что выражение $(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})$ присутствует и в числителе, и в знаменателе (это выражение называется неполным квадратом разности). Мы можем сократить его. $$ \frac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(\cancel{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}})}{\cancel{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}} = m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}} $$

Ответ: $m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}$.