Номер 37.34, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.34, страница 145.

37.34 a) $\left(\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^3 \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0,2}\right)^{-1}$

б) $\left(p^{-1} q^{\frac{5}{4}}\left(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}}\right)^{3,5}\right)^{-1}$

а) Решим выражение $\left(\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^{3} \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0,2}\right)^{-1}$.

Для упрощения данного выражения последовательно выполним действия со степенями.

1. Сначала возведем в куб выражение в первой внутренней скобке. Для этого используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^{3} = \left(c^{-\frac{3}{7}}\right)^{3} \cdot \left(y^{-0,4}\right)^{3} = c^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot y^{-0,4 \cdot 3} = c^{-\frac{9}{7}} \cdot y^{-1,2}$

2. Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\left(c^{-\frac{9}{7}} \cdot y^{-1,2} \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0,2}\right)^{-1}$

3. Далее сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$c^{-\frac{9}{7}} \cdot c^{\frac{3}{7}} = c^{-\frac{9}{7} + \frac{3}{7}} = c^{-\frac{6}{7}}$

$y^{-1,2} \cdot y^{0,2} = y^{-1,2 + 0,2} = y^{-1}$

4. После упрощения выражение в больших скобках принимает вид:

$c^{-\frac{6}{7}} \cdot y^{-1}$

5. Наконец, возведем полученное произведение в степень -1, снова используя свойства $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\left(c^{-\frac{6}{7}} \cdot y^{-1}\right)^{-1} = \left(c^{-\frac{6}{7}}\right)^{-1} \cdot \left(y^{-1}\right)^{-1} = c^{-\frac{6}{7} \cdot (-1)} \cdot y^{-1 \cdot (-1)} = c^{\frac{6}{7}}y$

Ответ: $c^{\frac{6}{7}}y$

б) Решим выражение $\left(p^{-1}q^{\frac{5}{4}}\left(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}}\right)^{3,5}\right)^{-1}$.

Для упрощения будем действовать пошагово.

1. Преобразуем десятичную степень 3,5 в обыкновенную дробь для удобства вычислений: $3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.

2. Возведем в степень $\frac{7}{2}$ выражение во внутренней скобке, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\left(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}}\right)^{\frac{7}{2}} = \left(p^{-\frac{2}{7}}\right)^{\frac{7}{2}} \cdot \left(q^{\frac{1}{14}}\right)^{\frac{7}{2}} = p^{-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}} \cdot q^{\frac{1}{14} \cdot \frac{7}{2}} = p^{-1} \cdot q^{\frac{7}{28}} = p^{-1}q^{\frac{1}{4}}$

3. Подставим полученное выражение в исходное:

$\left(p^{-1}q^{\frac{5}{4}} \cdot p^{-1}q^{\frac{1}{4}}\right)^{-1}$

4. Умножим степени с одинаковыми основаниями внутри скобок, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$p^{-1} \cdot p^{-1} = p^{-1 + (-1)} = p^{-2}$

$q^{\frac{5}{4}} \cdot q^{\frac{1}{4}} = q^{\frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = q^{\frac{6}{4}} = q^{\frac{3}{2}}$

5. Выражение в скобках теперь имеет вид:

$p^{-2}q^{\frac{3}{2}}$

6. В последнем шаге возведем это выражение в степень -1:

$\left(p^{-2}q^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} = \left(p^{-2}\right)^{-1} \cdot \left(q^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} = p^{-2 \cdot (-1)} \cdot q^{\frac{3}{2} \cdot (-1)} = p^{2}q^{-\frac{3}{2}}$

Ответ: $p^{2}q^{-\frac{3}{2}}$