Номер 37.39, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.39, страница 146.

Упростите выражение:

37.39 a) $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a - b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}};$

б) $\left(\frac{q^{\frac{1}{2}}}{p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q}{p - q}.$

a)

Рассмотрим выражение: $ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a - b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} $.

Упростим произведение дробей. Для этого разложим на множители числители. Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ и разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Числитель первой дроби: $ a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $.

Числитель второй дроби: $ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Подставим разложения в произведение:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Сократим общие множители: $ (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $ в числителе первой дроби и знаменателе второй, и $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $ в знаменателе первой дроби и числителе второй.

В результате умножения получаем: $ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2 = a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b $.

Теперь вернемся к исходному выражению и добавим оставшийся член:

$ (a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a + b $.

Ответ: $a+b$.

б)

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q}{p - q} $.

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$ p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $

$ q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = q^{\frac{1}{2}}(q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}) = -q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $

Подставим это в сумму дробей и приведем их к общему знаменателю $ p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $:

$ \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} - \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q^{\frac{1}{2}} \cdot q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}} \cdot p^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q - p}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} $

Разложим числитель $ q - p = -(p-q) = -(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}) $ и сократим дробь:

$ \frac{-(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} $

Теперь упростим вторую дробь $ \frac{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q}{p - q} $. Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $ pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q = p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}) $.

Знаменатель: $ p - q = (p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}) $.

Дробь примет вид: $ \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} = \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} $.

Наконец, перемножим упрощенные части:

$ \left( -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \left( \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} \right) = -\frac{(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}) \cdot p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} \cdot (p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} $

Сократив $ p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} $, получим конечный результат.

Ответ: $ -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} $.