Номер 38.4, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.4, страница 147.

38.4 Известно, что $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$. Вычислите:

а) $f(4)$;

б) $f\left(\frac{1}{9}\right)$;

в) $f(0)$;

г) $f(0,01)$.

а) Для вычисления $f(4)$ подставим значение $x=4$ в заданную функцию $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$.
$f(4) = 4^{\frac{5}{2}}$
Используя свойство степеней $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$, преобразуем выражение. В данном случае $n=2$ (квадратный корень) и $m=5$.
$4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5$
Так как $\sqrt{4} = 2$, то получаем:
$f(4) = 2^5 = 32$
Ответ: $32$

б) Для вычисления $f(\frac{1}{9})$ подставим $x=\frac{1}{9}$ в выражение для функции.
$f(\frac{1}{9}) = (\frac{1}{9})^{\frac{5}{2}}$
Применяя то же свойство степени, что и в предыдущем пункте, получаем:
$(\frac{1}{9})^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{\frac{1}{9}})^5$
Корень из дроби $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$. Тогда:
$f(\frac{1}{9}) = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$
Ответ: $\frac{1}{243}$

в) Для вычисления $f(0)$ подставим $x=0$ в выражение для функции.
$f(0) = 0^{\frac{5}{2}}$
Ноль в любой положительной степени равен нулю. Поскольку показатель степени $\frac{5}{2}$ является положительным числом, то:
$f(0) = 0$
Ответ: $0$

г) Для вычисления $f(0,01)$ подставим $x=0,01$ в выражение для функции.
$f(0,01) = (0,01)^{\frac{5}{2}}$
Для удобства вычислений представим основание степени $0,01$ как $(0,1)^2$.
$f(0,01) = ((0,1)^2)^{\frac{5}{2}}$
Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$:
$((0,1)^2)^{\frac{5}{2}} = (0,1)^{2 \cdot \frac{5}{2}} = (0,1)^5$
Вычисляем полученное значение:
$(0,1)^5 = 0,00001$
Ответ: $0,00001$