Номер 38.3, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.3, страница 147.

38.3 Постройте и сравните графики функций:

a) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}};

б) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}.

а)

Рассмотрим функции $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$.

По определению степенной функции с рациональным показателем, если показатель $p = \frac{m}{n}$, где $n$ — нечетное натуральное число, то функция $y=x^p$ определена для всех действительных чисел $x$. При этом для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

В нашем случае показатель равен $\frac{1}{3}$, знаменатель 3 — нечетное число. Следовательно, функция $y = x^{\frac{1}{3}}$ определена для всех действительных $x$, и для всех $x$ справедливо $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$.

Таким образом, функции $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ являются тождественно равными, а их графики полностью совпадают.

Для построения графика исследуем свойства функции $y = \sqrt[3]{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция является нечетной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Функция возрастает на всей области определения.
• График проходит через точки $(-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2)$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ (и, соответственно, $y = x^{\frac{1}{3}}$) представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, которая является зеркальным отражением графика кубической параболы $y=x^3$ относительно прямой $y=x$.

Сравнение: Функции $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ тождественно равны на всей числовой оси. Их графики — это одна и та же линия.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{3}}$ совпадают, так как по определению степенной функции с нечетным знаменателем в показателе $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$ для всех действительных чисел $x$.

б)

Рассмотрим функции $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$.

Функция $y = \sqrt[4]{x}$ (арифметический корень четвертой степени) по определению задана только для неотрицательных значений аргумента, то есть ее область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

По определению степенной функции с рациональным показателем $p = \frac{m}{n}$, если знаменатель $n$ — четное натуральное число, то функция $y=x^p$ определена только для $x \ge 0$.

В нашем случае показатель равен $\frac{1}{4}$, знаменатель 4 — четное число. Следовательно, функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ также определена только для $x \ge 0$. На этой области определения справедливо равенство $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$.

Таким образом, функции $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ являются тождественно равными на их общей области определения $x \ge 0$, и их графики полностью совпадают.

Для построения графика исследуем свойства функции $y = \sqrt[4]{x}$:

• Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения несимметрична относительно нуля.
• Функция возрастает на всей области определения.
• График проходит через точки $(0, 0), (1, 1), (16, 2)$.

График функции $y = \sqrt[4]{x}$ (и, соответственно, $y = x^{\frac{1}{4}}$) — это ветвь кривой, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Он является зеркальным отражением графика функции $y=x^4$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$.

Сравнение: Функции $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ имеют одинаковую область определения $[0; +\infty)$ и на этой области их значения совпадают. Следовательно, их графики идентичны.

Ответ: Графики функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^{\frac{1}{4}}$ совпадают. Обе функции определены для $x \ge 0$, и на этой области по определению $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$.