Номер 38.7, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.7, страница 147.

38.7 Исследуйте степенную функцию на ограниченность:

а) $y = x^8$;

б) $y = x^{-\frac{3}{4}}$;

в) $y = x^{-5}$;

г) $y = x^{\frac{2}{5}}$.

а) Функция $y = x^8$. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку показатель степени 8 является четным числом, для любого действительного $x$ значение $x^8$ будет неотрицательным, то есть $y = x^8 \ge 0$. Наименьшее значение функции равно 0 (при $x=0$). Таким образом, функция ограничена снизу числом 0. При $x \to \pm\infty$, значение $y = x^8$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$), следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

б) Функция $y = x^{-\frac{3}{4}}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Область определения этой функции определяется двумя условиями: выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным ($x^3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0$) и знаменатель не должен быть равен нулю ($x \ne 0$). Таким образом, область определения $D(y) = (0; +\infty)$. На этой области $x > 0$, следовательно $x^3 > 0$, $\sqrt[4]{x^3} > 0$, и $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} > 0$. Это означает, что функция ограничена снизу (например, числом 0). При $x \to 0^+$, знаменатель $\sqrt[4]{x^3} \to 0^+$, а значение функции $y \to +\infty$. Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

в) Функция $y = x^{-5}$ может быть записана как $y = \frac{1}{x^5}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Исследуем поведение функции. При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$), $x^5 \to 0^+$, и $y \to +\infty$. Это значит, что функция не ограничена сверху. При $x$, стремящемся к 0 слева ($x \to 0^-$), $x^5 \to 0^-$, и $y \to -\infty$. Это значит, что функция не ограничена снизу.
Ответ: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

г) Функция $y = x^{\frac{2}{5}}$ может быть записана как $y = \sqrt[5]{x^2}$. Поскольку корень пятой степени (нечетной) определен для любого действительного числа, а выражение $x^2$ определено для всех $x$, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y = \sqrt[5]{x^2} \ge 0$. Наименьшее значение функции равно 0 и достигается при $x=0$. Таким образом, функция ограничена снизу числом 0. При $x \to \pm\infty$, значение $x^2 \to +\infty$, и $y = \sqrt[5]{x^2}$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена снизу и не ограничена сверху.