Номер 38.5, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.5, страница 147.

38.5 Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Вычислите:

а) $f(1)$;

б) $f(8)$;

в) $f\left(\frac{1}{8}\right)$;

г) $f(0)$.

а) Для того чтобы вычислить $f(1)$, необходимо подставить значение $x=1$ в исходную функцию $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.

$f(1) = 1^{-\frac{2}{3}}$

Поскольку число 1 в любой степени равно 1, то:

$f(1) = 1$

Ответ: 1

б) Для того чтобы вычислить $f(8)$, подставим значение $x=8$ в функцию:

$f(8) = 8^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:

$f(8) = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{8})^2}$

Так как кубический корень из 8 равен 2 ($\sqrt[3]{8}=2$), получаем:

$f(8) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Для того чтобы вычислить $f(\frac{1}{8})$, подставим значение $x=\frac{1}{8}$ в функцию:

$f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (8)^{\frac{2}{3}}$

Это выражение было вычислено в предыдущем пункте:

$8^{\frac{2}{3}} = 4$

Таким образом:

$f(\frac{1}{8}) = 4$

Ответ: 4

г) Для того чтобы вычислить $f(0)$, подставим значение $x=0$ в функцию:

$f(0) = 0^{-\frac{2}{3}}$

Преобразуем выражение, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$f(0) = \frac{1}{0^{\frac{2}{3}}}$

Знаменатель $0^{\frac{2}{3}}$ равен $(\sqrt[3]{0})^2 = 0^2 = 0$. В результате мы получаем деление на ноль: $\frac{1}{0}$.

Данная операция не определена в математике, следовательно, функция $f(x)$ не определена в точке $x=0$.

Ответ: Значение функции в точке $x=0$ не определено.