Номер 38.10, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.10, страница 148.

38.10 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{5}{2}}$:

а) на луче $[0; +\infty)$;

б) на полуинтервале $[1; 3)$;

в) на отрезке $[1; 2];$

г) на полуинтервале $(6; 8]$.

а) на луче $[0; +\infty)$
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ исследуем ее на монотонность. Найдем производную функции:
$y' = (x^{\frac{5}{2}})' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$.
Область определения функции — $x \ge 0$. На этой области производная $y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} \ge 0$. Равенство нулю достигается только в точке $x=0$. Следовательно, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$.
Поскольку функция возрастает на луче $[0; +\infty)$, ее наименьшее значение достигается в начальной точке луча, то есть при $x=0$:
$y_{наим} = y(0) = 0^{\frac{5}{2}} = 0$.
Так как функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

б) на полуинтервале $[1; 3)$
На полуинтервале $[1; 3)$ функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ также возрастает, так как этот интервал является частью области возрастания функции.
Наименьшее значение достигается в левой граничной точке $x=1$, которая включена в интервал:
$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.
Правая граничная точка $x=3$ не включена в интервал. Значения функции стремятся к значению $y(3)$ по мере приближения $x$ к $3$, но никогда его не достигают. Значение в точке $x=3$ равно $y(3) = 3^{\frac{5}{2}} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 9\sqrt{3}$. Так как точка $x=3$ не принадлежит интервалу, наибольшего значения у функции на этом полуинтервале не существует.
Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке $[1; 2]$
На отрезке $[1; 2]$ функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает.
Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в его левом конце, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение при $x=1$:
$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.
Наибольшее значение при $x=2$:
$y_{наиб} = y(2) = 2^{\frac{5}{2}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $4\sqrt{2}$.

г) на полуинтервале $(6; 8]$
На полуинтервале $(6; 8]$ функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает.
Левая граничная точка $x=6$ не включена в интервал. Значения функции стремятся к $y(6) = 6^{\frac{5}{2}} = 6^2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = 36\sqrt{6}$ при приближении $x$ к $6$ справа, но никогда не достигают этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.
Наибольшее значение достигается в правой граничной точке $x=8$, которая включена в интервал:
$y_{наиб} = y(8) = 8^{\frac{5}{2}} = (2^3)^{\frac{5}{2}} = 2^{\frac{15}{2}} = 2^7 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 128\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение $128\sqrt{2}$.