Номер 38.16, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.16, страница 149.

38.16 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = x^{\frac{5}{2}}, \\ y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^{-\frac{1}{3}}, \\ y = \sqrt{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^{\frac{1}{6}}, \\ y = |x|; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^{-\frac{2}{3}}, \\ 2x - y - 1 = 0. \end{cases}$

а) Чтобы решить систему уравнений графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{5}{2}}$ и $y = 1$.

График функции $y = x^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{x})^5$ является степенной функцией. Область определения этой функции — $x \ge 0$. График начинается в точке (0, 0), проходит через точку (1, 1) и монотонно возрастает.

График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0, 1) на оси ординат.

Из построения графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки можно найти, приравняв правые части уравнений: $x^{\frac{5}{2}} = 1$ Возведя обе части уравнения в степень $\frac{2}{5}$, получаем: $(x^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 1^{\frac{2}{5}}$ $x = 1$ Подставив найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, находим $y$: $y = 1$ Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты (1, 1).

Ответ: (1, 1).

б) Построим в одной системе координат графики функций $y = x^{-\frac{1}{3}}$ и $y = \sqrt{x}$.

График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ определен для всех $x \neq 0$. График функции $y = \sqrt{x}$ определен для $x \ge 0$. Следовательно, решения системы могут существовать только при $x > 0$.

Рассмотрим поведение функций при $x > 0$. График $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ проходит через точку (1, 1) и является убывающей функцией. График $y = \sqrt{x}$ выходит из точки (0, 0), проходит через точку (1, 1) и является возрастающей функцией.

Графики пересекаются в точке, где их значения равны. Найдем эту точку, решив уравнение: $x^{-\frac{1}{3}} = \sqrt{x}$ $x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}$ Так как основания степеней равны и положительны ($x>0$), равенство возможно, только если $x=1$ (так как $a^b = a^c \implies b=c$ при $a \neq 1$). При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Таким образом, графики пересекаются в единственной точке (1, 1).

Ответ: (1, 1).

в) Построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{1}{6}}$ и $y = |x|$.

График функции $y = x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x}$ определен при $x \ge 0$. Он выходит из точки (0, 0), проходит через (1, 1) и является возрастающей функцией.

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Поскольку первая функция определена только для $x \ge 0$, нас интересует пересечение графика $y = x^{\frac{1}{6}}$ только с лучом $y = x$.

Найдем точки пересечения графиков $y = x^{\frac{1}{6}}$ и $y = x$. $x^{\frac{1}{6}} = x$ $x - x^{\frac{1}{6}} = 0$ $x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{5}{6}} - 1) = 0$ Это уравнение имеет два решения: 1) $x^{\frac{1}{6}} = 0 \implies x = 0$. Тогда $y = 0$. 2) $x^{\frac{5}{6}} - 1 = 0 \implies x^{\frac{5}{6}} = 1 \implies x = 1$. Тогда $y = 1$. Графики пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1, 1).

Ответ: (0, 0), (1, 1).

г) Построим в одной системе координат графики функций, заданных уравнениями $y = x^{-\frac{2}{3}}$ и $2x - y - 1 = 0$.

График функции $y = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2}$ определен для всех $x \neq 0$. Так как $x$ находится в знаменателе под четной степенью, функция является четной ($y(-x) = y(x)$) и ее значения всегда положительны ($y > 0$). График симметричен относительно оси Oy, проходит через точки (1, 1) и (-1, 1), имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

Второе уравнение, $2x - y - 1 = 0$, можно переписать в виде $y = 2x - 1$. Это уравнение задает прямую линию. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$; если $x=1$, то $y=1$. Прямая проходит через точки (0, -1) и (1, 1).

Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Эта точка — (1, 1). Проверим подстановкой: Для первого уравнения: $1 = 1^{-\frac{2}{3}}$, что равно $1=1$. Верно. Для второго уравнения: $2(1) - 1 - 1 = 0$, что равно $0=0$. Верно. При $x < 0$ график функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$ находится в верхней полуплоскости ($y>0$), а график прямой $y=2x-1$ — в нижней ($y<-1$). Поэтому других точек пересечения нет.

Ответ: (1, 1).