Номер 38.20, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.20, страница 149.

38.20 Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Найдите:

а) $f(16x);$

б) $f(81x^4);$

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right);$

г) $f(x^{-8}).$

а) Для того чтобы найти $f(16x)$, необходимо подставить выражение $16x$ вместо переменной $x$ в определение функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$.Получаем:$f(16x) = (16x)^{\frac{1}{4}}$.Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, мы можем преобразовать выражение:$f(16x) = 16^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$.Поскольку $16 = 2^4$, то $16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$.Таким образом, итоговое выражение равно $2x^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $2x^{\frac{1}{4}}$

б) Чтобы найти $f(81x^4)$, подставим $81x^4$ вместо $x$ в функцию. Получаем:$f(81x^4) = (81x^4)^{\frac{1}{4}}$.Используя свойство степени произведения, получаем:$f(81x^4) = 81^{\frac{1}{4}} \cdot (x^4)^{\frac{1}{4}}$.Так как $81=3^4$, то $81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3$.Для второго множителя важно учесть, что $(x^4)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x^4} = |x|$, поскольку корень четной степени из выражения в четной степени равен его модулю (результат должен быть неотрицательным).Следовательно, $f(81x^4) = 3|x|$.
Ответ: $3|x|$

в) Для нахождения $f(\frac{1}{81}x)$, подставляем выражение $\frac{1}{81}x$ вместо $x$ в определение функции. Получаем:$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}}$.Используя свойство степени, имеем:$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$.Так как $81=3^4$, то $\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{(3^4)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}$.Таким образом, $f(\frac{1}{81}x) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $\frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$

г) Чтобы найти $f(x^{-8})$, подставим $x^{-8}$ вместо $x$ в функцию. Получаем:$f(x^{-8}) = (x^{-8})^{\frac{1}{4}}$.Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, находим результат:$f(x^{-8}) = x^{-8 \cdot \frac{1}{4}} = x^{-2}$.Это выражение также можно записать в виде $\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $x^{-2}$