Номер 38.27, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.27, страница 150.

38.27 Найдите значение производной функции $y=g(x)$ в заданной точке $x_0$:

а) $g(x) = x^3 - 3\sqrt{x}, x_0 = 1;$

б) $g(x) = \sqrt[3]{3x - 1}, x_0 = \frac{2}{3};$

в) $g(x) = x^{-1} + x^{-2}, x_0 = 1;$

г) $g(x) = \frac{1}{3}(5 - 2x)^{-3}, x_0 = 2.$

а) Дана функция $g(x) = x^3 - 3\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной сначала представим функцию в виде степеней: $g(x) = x^3 - 3x^{1/2}$.
Теперь найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования разности и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$g'(x) = (x^3 - 3x^{1/2})' = (x^3)' - (3x^{1/2})' = 3x^{3-1} - 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 3x^2 - \frac{3}{2}x^{-1/2}$.
Перепишем производную в более удобном виде: $g'(x) = 3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{x}}$.
Вычислим значение производной в заданной точке $x_0 = 1$:
$g'(1) = 3(1)^2 - \frac{3}{2\sqrt{1}} = 3 \cdot 1 - \frac{3}{2 \cdot 1} = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

б) Дана функция $g(x) = \sqrt[3]{3x - 1}$ и точка $x_0 = \frac{2}{3}$.
Представим функцию в виде степени: $g(x) = (3x - 1)^{1/3}$.
Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(u(x)))' = f'(u) \cdot u'(x)$.
Пусть внутренняя функция $u(x) = 3x - 1$, тогда ее производная $u'(x) = 3$. Внешняя функция $f(u) = u^{1/3}$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{3}u^{-2/3}$.
Следовательно, производная функции $g(x)$ равна:
$g'(x) = \frac{1}{3}(3x-1)^{1/3 - 1} \cdot (3x-1)' = \frac{1}{3}(3x-1)^{-2/3} \cdot 3 = (3x-1)^{-2/3} = \frac{1}{(3x-1)^{2/3}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2}{3}$:
$g'(\frac{2}{3}) = \frac{1}{(3 \cdot \frac{2}{3} - 1)^{2/3}} = \frac{1}{(2 - 1)^{2/3}} = \frac{1}{1^{2/3}} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Дана функция $g(x) = x^{-1} + x^{-2}$ и точка $x_0 = 1$.
Найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции:
$g'(x) = (x^{-1} + x^{-2})' = (x^{-1})' + (x^{-2})' = -1 \cdot x^{-1-1} + (-2) \cdot x^{-2-1} = -x^{-2} - 2x^{-3}$.
Перепишем производную в виде дробей: $g'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$g'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3} = -1 - 2 = -3$.
Ответ: $-3$.

г) Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}(5 - 2x)^{-3}$ и точка $x_0 = 2$.
Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и свойством константы.
Пусть внутренняя функция $u(x) = 5 - 2x$, ее производная $u'(x) = -2$. Внешняя функция с константой $f(u) = \frac{1}{3}u^{-3}$.
Производная функции $g(x)$ равна:
$g'(x) = \frac{1}{3} \cdot (-3)(5-2x)^{-3-1} \cdot (5-2x)' = -(5-2x)^{-4} \cdot (-2) = 2(5-2x)^{-4} = \frac{2}{(5-2x)^4}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$g'(2) = \frac{2}{(5 - 2 \cdot 2)^4} = \frac{2}{(5 - 4)^4} = \frac{2}{1^4} = 2$.
Ответ: $2$.