Номер 38.29, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.29, страница 150.

38.29 Найдите угол, образованный касательной к графику функции $y = g(x)$ с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой $x_0$:

a) $g(x) = \frac{2}{3}\sqrt{4 - 3x}$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

б) $g(x) = -3(\sqrt{2} + x)^{-\frac{1}{3}}$, $x_0 = 1 - \sqrt{2}$.

а) Угол $\alpha$, который касательная к графику функции $y = g(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ образует с положительным направлением оси абсцисс, находится из соотношения $\tan(\alpha) = g'(x_0)$, где $g'(x_0)$ — это значение производной функции в точке $x_0$.
Дана функция $g(x) = \frac{2}{3}\sqrt{4 - 3x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.
Сначала найдем производную функции $g(x)$. Для этого представим ее в виде $g(x) = \frac{2}{3}(4 - 3x)^{\frac{1}{2}}$ и применим правило дифференцирования сложной функции:
$g'(x) = \left(\frac{2}{3}(4 - 3x)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(4 - 3x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (4-3x)' = \frac{1}{3}(4 - 3x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-3) = -(4 - 3x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{4 - 3x}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:
$g'\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{4 - 3 \cdot \frac{1}{3}}} = -\frac{1}{\sqrt{4 - 1}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Итак, тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Угол, тангенс которого равен $-\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $150^\circ$.
Ответ: $150^\circ$.

б) Аналогично найдем угол для функции $g(x) = -3(\sqrt{2} + x)^{\frac{1}{3}}$ в точке $x_0 = 1 - \sqrt{2}$.
Сначала найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = \left(-3(\sqrt{2} + x)^{\frac{1}{3}}\right)' = -3 \cdot \frac{1}{3}(\sqrt{2} + x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (\sqrt{2} + x)' = -(\sqrt{2} + x)^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{(\sqrt{2} + x)^{\frac{2}{3}}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1 - \sqrt{2}$:
$g'(1 - \sqrt{2}) = -\frac{1}{(\sqrt{2} + (1 - \sqrt{2}))^{\frac{2}{3}}} = -\frac{1}{1^{\frac{2}{3}}} = -\frac{1}{1} = -1$.
Итак, тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = -1$.
Угол, тангенс которого равен $-1$, составляет $135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.